高等数学 多元复合函数的微分法与隐函数的微分法
上传者:陈红忠|上传时间:2015-04-15|密次下载
高等数学 多元复合函数的微分法与隐函数的微分法
思考题:
1.若函数z z(x,y)由方程ex 2y 3z xyz 1确定,则dz|(0,0) ?
2.设f(u,v)是二元可微函数,z f(
yx,,则xy
z z
. y
x y
2
3.设f(x,y)具有一阶连续偏导数,f(x,x) 1且
.fx(x,x2) x,则fy(x,x2) x
4.设函数z z(x,y)由方程(z y) xy确定,则
x
z
x
(1,2)
___________.
yx
z
| ? x(1,0)
(2014校数学竞赛)设f(x,y)可微,且f(1,1) 1,fx (1,1) 1,fy (1,1) 2,y f(x,f(x,x)),求
5.设z (x e),则
dy
| ?dxx 1
提示:
dy
f1 (x,f(x,x)) f2 (x,f(x,x))[f1 (x,x) f2 (x,x)]dx
dy
|x 1 f1 (1,f(1,1)) f2 (1,f(1,1))[f1 (1,1) f2 (1,1)]dx
f1 (1,1) f2 (1,1)[f1 (1,1) f2 (1,1)] 1 2[1 2] 7.
§8.4—8.5多元复合函数的求导法则
与隐函数的微分法
教学过程:
一、复合函数的微分法1.【定理8.4】若函数u (x,y),v (x,y)在点(x,y)
u u v v
处的偏导数,,,都存在,且在对应点(u,v)处
x y x y
函数z f(u,v)具有一阶连续的偏导数,则复合函数z f[ (x,y), (x,y)]对x、y的偏导数存在, z z u z v z z u z v且; .
x u x v x y
内容需要下载文档才能查看u
内容需要下载文档才能查看y
内容需要下载文档才能查看v y
(复合函数求导的链式法则或复合函数的微分法)
【说明】先分类分步,再建模.类相加,步相乘.2.特别地,若z f(u,v),而u (x),v (x),则z就是x的一元函数z f[ (x), (x)],z对x的导数称为全导数,dz zdu zdv即. dx udx vdx
3.若z f(x,y),而y (x),则z f[x, (x)]的全导数为dz z zdy
.
dx x ydx
3.复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数时,利用树图可以很方便地求所需的偏导数.
提问:(07.3.4)设f(u,v)是二元可微函数,z f(则x
yx,,xy
z z y x y
t
.
例1设z uv sint,而u e,
v cost,求全导数
例2设u 求
dz.dt
2
f(x,y,z) ex
y2 z2
,z x2siny,
u u和. x y
y2
例3设z (xy), 为可微函数,
2x
z32 z求证:x xy y2 0.
x y2
zy2 zy
证由于 2 y (xy), x (xy)
x2x yx
z32 z所以x xy y2
x y2y2y3
x [ 2 y (xy)] xy[ x (xy)] y2
2xx23y232 y 0.
22
例4设z xy u,其中u (x,y)具有二阶连续偏导
数,求z x,zxx,zxy.
2
z u 2z 2u 2z 2u
解. y , ,
x x x2 x2 x y x y提问:(1)设f(x,y)具有一阶连续偏导数,
2
f(x,x2) 1且fx(x,x2) x,则fy(x,x)
分析:符号的意义是什么?建模?解设z f(x,y),且y x,
内容需要下载文档才能查看2
.
1.2
即0 x 2xfy,所以fy
(2)(2014年学校竞赛)设f(x,y)可微,f(1,2) 2,
fx(1,2) 3,fy(1,2) 4, (x) f(x,f(x,2x));求 (1).
解设 (x) f(u,v),u x,v f(x,y),y 2x,
fdu f v vdy
则 (x) [ ]
udx v x ydx
(1) fu(1,f(1,2)) fv(1,f(1,2))[fx(1,2) 2fy(1,2)]
fu(1,2) fv(1,2)[fx(1,2) 2fy(1,2)] 3 4[3 2 4] 47.
例5(1)设z f(u,x,y),u xe,其中f具有二阶
y
2z
连续偏导数,求.
x y
z u解 fu fx eyfu fx
x x
y
注意到fx ,fu 仍然是u,x,y的函数,且u xe,
所以
2z u u
] [fxu ] eyfu ey[fuu fuy fxy
x y y y
. eyfu xe2yfuu eyf xeyfxu fxy
说明:在求多元函数的偏导数,特别是符号表示的抽象函数的各阶偏导数时,注意应用简便记号
f(u,v) 2f(u,v)
,fu f1 ,fuu f11
2
u u 2f(u,v) 等.fuv f12
u v
(2)设w f(x y z,xyz),f具有二阶连续偏导数, w 2w求.,
x x z
解:令u x y z,v xyz,则
w f(x y z,xyz) f(u,v) w f u f v
f1 yzf2 x u x v x 2w
(f1 yzf2 ) x z z
xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 . f11
另解:令u x y z,v xyz.
2f(u,v) f(u,v)
,f22 .记f1 ,f12,同理有f2 ,f11
u v u
w f u f v f1 yzf2 ,①
x u x v x 2w f f
(f1 yzf2 ) 1 yf2 yz2,②
x z z z z f1 f1 u f1 v
xyf12 , f11
z u z v z f2 f2 u f2 v
xyf22 , f21
z u z v z 2w
xyf12 yf2 yz(f21 xyf22 ) f11
x z
y(x z)f12 xy2zf22 yf2 . f11
练习:
1.设w f(x y,
2
2
x
,f具有二阶连续偏导数,y
w 2w,求. x x y
2.(89.5)已知z f(u,v),u x y,v xy,且 2z
f(u,v)的二阶偏导数都连续,求.
x y
二、全微分形式不变性
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