_2012级线性代数A1答案[1]

2012——2013学年第1学期

课程名称： 线性代数 使用班级： 2012级理工科本科 命题系别： 数学学院_ __ 命题人：

一、

xyx y

yx yx

x yxy

3xy(x y) (x y)3 x3 y3

(x y)(3xy x2 2xy y2) (x3 y3) 2(x3 y3)

(3分)(2分)(2分)

xy(x y) xy(x y) xy(x y) (x y)3 x3 y3

(3分)

二、A31 3A32 2A33 2A34等于用1,3，-2,2代替D的第3行所得的行列式，即

3

5

A31 3A32 2A33 2A34

1

10 01

113 5168 52

12

(4分)

3 4 223 1018 53 1018 5

311 195 311

16 1011 2418 19

80

0 51

5

0 24

(2分)

8 3

1 24

19 803 451 55

(2分)

(2分)

- 1 -

三、

3AB 2A A(3B 2E)

123 A 3 1 24 100 1 2 010 05 001

169 111 16 A 3 812 11 1 9 0151 1 11 3 812 0151

21322 2 1720 429 2

ATB AB 111 123 11 1 1 24

1 11 051

058 0 56 290

四、

AB A 2B (A 2E)B A

033 200 A 2E 110 020 233 1 10

123

002 121 A 2E 2 0

A 2E可逆，且B (A 2E) 1A

- 2 -

(1分)(1分)

(2分)

(2分)

(2分)

(2分)

(1分)

(1分)

(2分)

033 1 10 233

(A 2E|A) 1 10|110 233

121 123 121

110 1 10 1 10

013|253 013 011 033 00 2

110 100 1 10

013|253 010| 001 110 001 033

B (A 2E) 1A 123

110

123

五、D 2

10

|33 123 110

|253 2 20 033

123 110

10

(1分)

(1分)

(2分)

(2分)

25 15 0 (3分) 351

113D2 225 0,

331

121

D3 222 0 (3分)

353x3

D30

0 (4分) D15

123D1 225 15,

351

所以x1

D115D0

1,x2 2 0,D15D15

D

注：写出xi i,(i 1,2,3)可给2分

D

2

2

六、 由A A 2E 0知，A(A E) A A 2E (2分)

1

A (A E) E， (1分)

21 1

所以A (A E) (2分)

2

又由A A 2E 0得，(A 2E)(A 3E) 4E 0 (2分)

2

1

(A 2E) [ (A 3E)] E (或 (A 2E)(A 3E) 4E) (1分)

4

- 3 -

所以(A 2E)

1

1

(A 3E) (2分)

4

七、对系数矩阵A作初等变换，得

1 8

A 24

38

10

01

00 102 1 8102 1 8102

5 1 020 15 5 04 3 1

6 2 032 24 8 0000

(3分) 40

31 44 00

x1 4x3

它对应的方程组为 31 (1分)

x2 x3 x4 44

令

x2 1 x1 0

，得 (1分) x0 x4 4 3

x2 0 x1 4

令 ，得 (1分)

x4 3 x3 1

0 4

10

于是得到一个基础解系 1 , 2 (2分)

0 1 4 3

x1 0 4 x102

从而该齐次方程组的通解为 k1 k2 ,

x3 0 1

4 3 x4

- 4 -

(k1,k2 R) (2分)

八、 (1) 记A 1, 2, 3, 4, 5 ，对矩阵A施行初等行变换：

1 0 A 2 1

1 11

1 02

03 13 0 2

104 1 00 1104 1 11 0206 2 01

001 11 00 00000 00

122125

1 1 1 0

1 51 0

22 2 004 1 1

03 1 0

1 11 0

000 0

2125

1 1

01 11

0000

(3分)

0010

103 1 01 11

0000

122125

所以R(A) 3，该向量组A是线性相关的 (2分) (2) 1 (1,0,2,1)T, 2 (1,2,0,1)T, 3 (2,1,3,0)T为A的一个极大无关组，(3分) 且 4 1 3 2 3， 5 2 3。 (2分)

4

九、 E A

60

0 ( 1)2( 2) 0 (2分) 1

33

5

6

因此A的特征值为 1 2 1, 3 2 (1分) 当 1 2 1时， E A x 0化简得x1 2x2 0 (1分)

0 2

对应的特征向量为 1 0 , 2 1 (2分)

1 0 x x2 0

当 3 2时， 2E A x 0化简得 1 (1分)

x1 2x2 x3 0

对应的特征向量为 3 1,1,1 (1分) 因此，矩阵A可对角化。 (2分)

- 5 -

T