第七章 习题解答

习题7 解答

1n1n2

1．解 因为总体均值、方差矩估计量分别为 Xi，Sn (Xi )2，

ni 1ni 1

所以对应矩估计值为：

11161 1 12

x (0 0 1 1 0 1) ，s6 (xi x)2 6 ．

626i 16 2 4

11k

2．解 x (n1x1 n2x2 nkxk) nixi，

n1 n2 nkni 1

2

1n1k2

s (xi x) ni(xi x)2． n 1i 1n 1i 1

2

3．解 因为EX ，所以 ME ． 故参数 的矩估计值为

ME

181

x nixi 80 2．

ni 140

n

似然函数为 L( )

P(Xi xi)

i 1

i 1

n

xi!

xi

n

xi

i 1

n

e n ，

i

x!

i 1

对数似然函数为 lnL( ) n

xiln ln xi!，

i 1

i 1

nn

dlnL( )

0，即

d

n

x

i 1

n

i

0，解得 MLE ．

故参数 的极大似然估计值为2．

1

,i 1,2,n N 11111

EX 0 1 N 0 1 2 N

N 1N 1N 1N 1

1(1 N)NN N 122

解得N 2EX，故N的矩估计量为2X．

1

似然函数：L(N) ，xi N,i 1,2,,n，要使L(N)最大，N取最小，但

(N 1)n

xi N,i 1,2,,n，故N的极大似然估计量为X(n)．

4．解（1）P(Xi xi) （2） 因为EX

1

，解得

1

EX，所以 的矩估计量为．

1 EX1 ，

n

n 似然函数：L( ) xi i 1

对数似然函数：lnL( ) nln ( 1)

lnx，

i

i 1

n

dL( )nn

lnxi 0，得 d i 1

所以 的极大似然估计量为

n

lnx

i 1

n

，

i

n

lnX

i 1

n

．

i

（3

）因为EX

1

1

1 EX

，解得 dx ， EX

2

1

故 的矩估计为 ．

n n1 2 xi ,0 xi 1,i 1,2,,n

似然函数：L( ) i 1 ，

else 0,

nn

nn

对数似然函数：lnL( ) ln 1)ln xi ln 1) lnxi，

22i 1i 1

n

lnL( )n11 1

2

对数似然方程： lnxi 0，

2 2i 1

n2n2

解得 ，所以 的极大似然估计量为． 22nn

lnXlnx i i

i 1 i 1

1

5．解 p的矩估计和极大似然估计都是，而x 4，

故p的矩估计值和极大似然估计值都是0.25，

2

1

故p的矩估计和极大似然估计都是 ，

2

故p的矩估计值和极大似然估计值都是0.0625． 6．解 总体X的密度函数为

1

,a x b

f(x;a,b) b a

else 0,

2

2

1

, n

似然函数L(a,b) f(xi;a,b) (b a)

i 1 0,

当a x1,x2,xn b时，

对数似然函数lnL(a,b) nln(b a)，

n

a x1,x2,else

xn b

对数似然方程为

n lnL(a,b) 0 ab a

lnL(a,b)n 0 ba b

显然对数似然方程无解，故通过极大似然原理，由于似然函数L(a,b)关于b a是单调递减函数，要使L(a,b)取到最大值，必须满足使L(a,b) 0，同时b a取最小值．为使

L(a,b) 0，必须满足a xi b，i 1,2,,n，即a minxi x(1)，x(n) maxxi b，

1 i n

1 i n

为使b a取最小值必须使b取最小值，a取最大值，由于a x(1)，x(n) b，因此只有当

a x(1)，b x(n)时，L(a,b)取到最大值，故a,b的极大似然估计量分别为X(1)，X(n)．

7．解 易知 , 极大似然估计分别为,Sn，

P( t) P ，

故P(

t)的极大似然估计为 ． 2

8．解 正态总体均值 与标准差 的极大似然估计分别为与S,

110

MLE x xi 997.1，

10I 1

MLE

s

124.8

根据极大似然估计量的函数仍为极大似然估计量原理，P(X 1300)的极大似然估计

值为

P(X 1300) 1 P(X 1300) 1 (9．解 设总体方差为 ，

2

1300 997.1

) 1 (2.427) 0.0075．

124.8

1 n 1n 2 E (Xi ) EXi2 2n n 2

ni 1 n i 1

12222

n( ) 2n n n

2

1n2

所以， (Xi )是总体方差的无偏估计．

ni 1

10．解 EXi EX ，DXi DX 2， EX ，

1 n 1n2 22 ES E (Xi ) EX E() i

n 1i 1 n 1 i 1

2

1 2 222 n( ) n( ) n 1 n 2

样本均值和样本方差S均是参数 的无偏估计．

2

22

E (1 )S (1 )ES

(1 ) 2 2

所以， (1 )S2也是 的无偏估计． 11．解 因为

(X

i 1

n

i

)22 2(n 1)，

n

所以E (Xi )22 (n 1)，即

i 1 n

E (Xi )2 (n 1) 2， i 1 n

D (Xi )22 2(n 1)，即 i 1

n

D (Xi )2 2(n 1) 4 i 1

1 1n22 22

， ES1 E (X ) (n 1) i

n 1i 1 n 1

1n n 12

ES2 E (Xi )2 ，

nn i 1

n 12 1n22 ES3 E (X ) ， i

n 1i 1 n 1

2

22

故S12是 的无偏估计，S2都是 的渐近无偏估计． ,S3

22

2(n 1)4 1n2 DS D (X ) i (n 1)2 ， n 1i 1

1n 2(n 1)42

DS2 D (Xi )2 2

n ni 1

2

1

2(n 1)4 1n2 DS3 D (X ) ，易知S12最有效． i2

n 1i 1 (n 1)

2

12．解

n 1 n 1 n 12 2 2 E C (Xi 1 Xi) CE (Xi 1 Xi) CE (Xi 1 ) (Xi ) i 1 i 1 i 1

2 n 1

C E(Xi 1 )2 2E(Xi 1 )(Xi ) E(Xi )2

i 1

C ( 2 0 2) 2C(n 1) 2

i 1

n 1

n 1

122

取C 时，C (Xi 1 Xi)为 的无偏估计

2(n 1)i 1

n

n n

13．证明 （1） 因为E aiXi aiEXi ai

i 1 i 1 i 1

所以

aX是 的无偏估计．

i

i

i 1

n

（2）样本均值X是 的无偏估计 由柯西－施瓦兹不等式

nn

n 2

xiyi xi yi2

i 1i 1 i 1

nnnn

1 n 22

得 1 ai 1 1 ai n ai，即 ai2

ni 1i 1i 1i 1 i 1

1 n2 n n

因此 DX DX ai DX D aiX D aiXi

n i 1 i 1 i 1

2

2

所以在 的所有形如

aX的线性无偏估计中，以X为最有效．

i

i

i 1

n

1n

14．解（1）EXi p,DXi p(1 p)， EXi p

ni 1

所以是p的无偏估计

1n1nP(1 P)

（2） D( Xi) 2 DXi ，由契比雪夫不等式，任给 0，

ni 1ni 1n

p(1 p)

P p p P p 2 n 0，即是p的一致估计． 2

n

15．解 因为 ,

2

n1

,

2

n2

，所以

EZ E( ) a b

所以Z 都是 的无偏估计

a2b2 2

DZ D( ) a b

n1n2 a2b2

为使DZ达到最小，只需求在约束条件a b 1下 达到最小值的a,b．

n1n2

2

2

a2b2

利用拉格朗日乘数法：令 F(a,b, ) (a b 1)，

n1n2

2a

n 0n1n2 1

求导得 ，解方程组得：a ，b

n nn n2b1212 0

n2

16．解 因为

nnn

2 222 n(n 1)E kX kEX k k k

n(n 1)k 1n(n 1)2 n(n 1)k 1 n(n 1)k 1

n

2

所以kXk是 的无偏估计． n(n 1)k 1