§3 傅里叶级数
大学数学课件加习题
§3 傅里叶级数(数学二、三不要求)
【考试要求】
了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[ l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.
一、基本概念
大学数学课件加习题
设f(x)是以T 2l为周期的周期函数，称
an n
ancosx bnsinx 2n 1 ll
为函数f(x)的傅里叶级数，其中
1l
a0 f(x)dx，
l l1ln an f(x)cosxdx,
l ll
大学数学课件加习题
1ln bn f(x)sinxdx (n 1,2,3,)
l ll
称为f(x)的傅里叶系数.
二、重要结论
1. 狄利克雷收敛定理(狄利克雷充分条件): 设f(x)以2l为周期，若满足条件：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
(2)在一个周期内至多有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且
大学数学课件加习题
an n ancosx bnsinx 2n 1ll
f(x) , x，
f(x 0) f(x 0) ,x，
2
f(l 0) f( l 0)
, x l. 2
2. 求以T 2l为周期的函数f(x)的傅里叶级数展开式的方法
大学数学课件加习题
(1) 画出f(x)的图形，并求f(x)在整个数轴上的间断点xi(i 1,2,);
(2) 求出f(x)的傅里叶级数的和函数s(x);
(3) 求出f(x)的傅里叶系数an，bn;
(4) 写出f(x)的傅里叶级数展开式. 注 若求定义在 l,l 上的函数f(x)的傅里叶级数展开式，只需将上述结果限制在 l,l
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