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§3 傅里叶级数

上传者:崔学雷
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上传时间:2015-04-15
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§3 傅里叶级数

大学数学课件加习题

§3 傅里叶级数(数学二、三不要求)

【考试要求】

了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[ l,l]上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

一、基本概念

大学数学课件加习题

设f(x)是以T 2l为周期的周期函数,称

an n

ancosx bnsinx 2n 1 ll

为函数f(x)的傅里叶级数,其中

1l

a0 f(x)dx,

l l1ln an f(x)cosxdx,

l ll

大学数学课件加习题

1ln bn f(x)sinxdx (n 1,2,3,)

l ll

称为f(x)的傅里叶系数.

二、重要结论

1. 狄利克雷收敛定理(狄利克雷充分条件): 设f(x)以2l为周期,若满足条件:

(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

(2)在一个周期内至多有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且

大学数学课件加习题

an n ancosx bnsinx 2n 1ll

f(x) , x,

f(x 0) f(x 0) ,x,

2

f(l 0) f( l 0)

, x l. 2

2. 求以T 2l为周期的函数f(x)的傅里叶级数展开式的方法

大学数学课件加习题

(1) 画出f(x)的图形,并求f(x)在整个数轴上的间断点xi(i 1,2,);

(2) 求出f(x)的傅里叶级数的和函数s(x);

(3) 求出f(x)的傅里叶系数an,bn;

(4) 写出f(x)的傅里叶级数展开式. 注 若求定义在 l,l 上的函数f(x)的傅里叶级数展开式,只需将上述结果限制在 l,l

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