第九届全国周培源大学生力学竞赛试题

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第九届全国周培源大学生力学竞赛试

本试卷共 5 题满分 120 分时间 3 小时30 分

注意：答卷中各题所得的最后计算结果用分数表示或用小数表示均可

第 1 题（15 分）

图 1 为某个装在主机上的旋转部件的简图。四个重量为G ，厚度为b，宽度为3b，长度为L，弹性模

量为E的均质金属片按如图的方式安装在轴OO′ 上。在A 处相互铰结的上下两个金属片构成一组，两组

金属片关于轴OO′ 对称布置。两组金属片上方均与轴套O 铰结，且该轴套处有止推装置，以防止其在轴

向上产生位移。两组金属片下方均与O′ 处的轴套铰结，该轴套与轴

OO′ 光滑套合。当主机上的电动机带动两组金属片旋转时，O′处的

轴套会向上升起。但轴套上升时，会使沿轴安装的弹簧压缩。弹簧的

自然长度为2L ，其刚度

L

k = 23G 。O 和 O′ 处的轴套、弹簧，以及

各处铰的重量均可以忽略。

(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时O′ 处轴套向上升

起的高度H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速0

ω 是多少？

(2) 当转速恒定于0

ω 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算

图示角度∠OAO′相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。

第 2 题（25 分）

在图 2 中，杂技演员推动着演出道具在平坦的水平面上缓慢滚动。道具的外环和内芯都是刚性的，

1 2 D = 5D 。三根直径为d 、长度相等的实心圆杆布置匀称，其重量可以忽略不计。圆杆两端分别与外环和

内芯用球铰连结，且有D 12.5d 2 = 。圆杆材料可视为理想弹塑性，比例极限为p σ ，弹性模量E 的数值是p σ

的400 倍。内芯有轴承及其他结构，可以保证悬挂在圆心处的重物始终保持着竖直悬垂的状态，而且不会

与圆杆相撞。不考虑可能存在的间隙。

(1) 若要使每根圆杆都不会失稳，安全因数取n ，重

物（包含内芯）的重量F 最多允许为多大（用p σ 、d 和n

表示）？

(2) 如果F 的取值在上小题的许用范围内，内芯的圆

心位置会不会因为圆杆变形而在滚动过程中产生微小的

波动？试证明你的结论。

(3) 在保持原结构和构件的形式不变（例如，不允许将实心圆杆改为空心圆杆），连接方式不变，安全

因数不变，不减小外环外径，不增加材料用量，不更换材料的前提下，能否重新设计和制作这一道具，使

F 在第(1) 小题所得到的许用值得到提高？如果你认为这个设想可以实现， F 的许用值最多能提高多少？

第 3 题（25 分）

小明和小刚有一个内壁十分光滑的固定容器，他们已经知道这个容器的内壁是一条抛物线绕着其对称

轴旋转而得到的曲面。如何确定这条抛物线的方程，是小明和小刚想要解决的问题。他们手里还有一根长

度为400 mm 的同样光滑的均质直杆 AB，能不能借助这根杆件来做这件事呢？数次将这根杆件随意放入容

器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹

角每次基本上都是45o，如图3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀

疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件

来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑

动起来，最终又静止在45o的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到45o的平衡角

度上。两人就此进行了激烈的争论，反复的讨论和细致的演算；甚至还找了好几根长短不一的均质杆来进

行实验验证。

(1) 试以杆的轴线与水平面的夹角α (0 ≤α ≤ 90o )为参数，推导出杆

件所有可能的平衡位置。

(2) 试确定这条抛物线的方程。

(3) 试分析静止在这个容器内的各种光滑均质杆，在什么情况下受到

扰动之后还能回到初始的平衡角度上，什么情况下不能。

第 4 题（30 分）

图 4 是一个吊装设备的示意图。水平平面内的直角刚架由塑性材料的实心圆杆制成，其两个短杆的端

面A 和G 牢固地固定在竖直的刚性壁上。吊装的重物一直不变，但可以吊挂在刚架的任意部位。已知刚架

各部分圆杆横截面的直径均为d ，其他尺寸如图所示。材料的弹性模量为E，泊松比ν = 0.25。不考虑刚

架的自重。

(1) 由于重物的作用，圆杆的A 截面最上点处会产生沿着AB 杆轴线方向上的线应变。尽管吊装的重

物没有变化，但由于吊挂的位置不同，这个应变的数值也是不同的；无须证明，在所有可能的数值中，必

定有一个极大值max ε 。试用max ε 表示出重物及挂钩的总重量 F 。

(2) 在出现这个极大值max ε 时，有人直接将max Eε 作为在相应吊挂情况下A截面上危险点的屈服强度

准则的相当应力。这样做行吗？为什么？

(3) 在图示AB 区段的中截面J 处，如果要利用电测

法测算出在各种吊挂情况下该截面的全部内力，同时要

求应变片要用得尽可能地少，效果要尽可能地好，在理

论上应该贴多少个应变片？应在该截面外圆的何处粘

贴？沿着什么方向粘贴？如何利用这些应变片的读数来

求得J 截面上各个内力的数值？

第 5 题（25 分）

在收拾整理第3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在

地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件撞击地面时的现象所吸引，感

觉与自己的想象并不一致。两人找出几根材质不同但长度均为2L的杆件，让它

们在高度为2L处与铅垂线成θ (0 ≤θ < 90o )角无初速地竖直落下，并与固定的

光滑水平面碰撞，如图5 所示。

(1) 某根杆AB自由下落的倾角θ = 30o。若在碰撞刚结束的瞬时，质心C的

速度恰好为零，那么，碰撞时的恢复系数e 为多大？

(2) 另一根杆（也记其为AB）自由下落的倾角θ = 45o，A端与地面发生完

全非弹性碰撞。在碰撞后杆AB 刚达到水平位置的瞬时，质心C 的速度为多少？ 图

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