换元分部Word

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换元分部Word

　　高数

　　第五章第三节定积分的换元法和分部积分法不定积分

　　换元积分法分部积分法

　　定积分

　　换元积分法分部积分法

　　一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word1

　　高数

　　一、定积分的换元法定理1. 设函数 2) 在[ , ] 上则

　　单值函数

　　满足:

　　1 ( t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1)

　　(t ) (t )

　　证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .

　　则

　　(t ) 是

　　(t ) (t ) 的原函数 , 因此有 F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]

　　(t ) (t )机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word2

　　高数

　　(t ) (t )说明: 1) 当 , 即区间换为[ , ] 时，定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .

　　3) 换元公式也可反过来使用 , 即

　　(t ) (t )或配元

　　f ( x) d x (令 x (t ) )a

　　(t ) (t )

　　(t ) d (t )配元不换限机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word3

　　高数

　　例1. 计算解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且

　　. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 22 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = 0

　　y a2 x2

　　a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0机动

　　a x

　　上页

　　下页

　　结束

　　换元分部Word4

　　高数

　　例2. 计算

　　t 2 1 解: 令 t 2 x 1 , 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .∴ 原式 =

　　t 2 1 3 2 2 t dt 1 t

　　1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word5

　　高数

　　例3.(1) 若 (2) 若证:a 0

　　偶倍奇零

　　则

　　f ( x ) dx 2 f ( x ) dx0

　　则 a a

　　f ( x ) dx 0a

　　a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx f ( t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx0 0 a 0

　　令 x t

　　f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word6

　　高数

　　二、定积分的分部积分法定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b

　　a证: [u ( x) v( x)] u ( x)v( x) u ( x)v ( x)

　　两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v ( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a机动目录上页下页返回结束

　　换元分部Word7

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