换元分部Word
高数
第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分
换元积分法分部积分法
定积分
换元积分法分部积分法
一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束
高数
一、定积分的换元法定理1. 设函数 2) 在[ , ] 上 则
单值函数
满足:
1 ( t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1)
(t ) (t )
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
则
(t ) 是
(t ) (t ) 的原函数 , 因此有 F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
(t ) (t )机动 目录 上页 下页 返回 结束
高数
(t ) (t )说明: 1) 当 , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )或配元
f ( x) d x (令 x (t ) )a
b
(t ) (t )
(t ) d (t )配元不换限机动 目录 上页 下页 返回 结束
高数
例1. 计算 解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 22 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = 0
y
y a2 x2
a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0机动
o
2
a x
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高数
例2. 计算
t 2 1 解: 令 t 2 x 1 , 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .∴ 原式 =
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1机动 目录 上页 下页 返回 结束
高数
例3.(1) 若 (2) 若 证:a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx0
a
则 a a
a
a
f ( x ) dx 0a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx f ( t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx0 0 a 0
令 x t
f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时机动 目录 上页 下页 返回 结束
高数
二、定积分的分部积分法定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
a证: [u ( x) v( x)] u ( x)v( x) u ( x)v ( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v ( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a机动 目录 上页 下页 返回 结束
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