第21课时相似三角形

　　第21课 相似三角形

　　方法指导

　　1．判定两个三角形相似的技巧

　　(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；

　　(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两邻边是否对应成比例；

　　(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；

　　(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形．

　　2．五种基本思路

　　(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；

　　(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找两邻边成比例；

　　(3)条件中若有两边对应边成比例，可找夹角相等；

　　(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

　　(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．

　　真题回顾

　　【例】（2016四川眉山）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且

　　∠ACB=∠BEC=90，AC=4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F

　　（1）求证：；

　　（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；

　　（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

　　【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；

　　（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；

　　（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．

　　【解答】（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形， ∴∠ECB=∠PCD=45，∠CEB=∠CPD=90，

　　∴△BCE∽△DCP， ∴=；

　　（2）解：AC∥BD，

　　理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45，

　　∴∠PCE=∠BCD， 又∵=，

　　∴△PCE∽△DCB，

　　∴∠CBD=∠CEP=90，

　　∵∠ACB=90，

　　∴∠ACB=∠CBD，

　　∴AC∥BD；

　　（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M， ∵AC=4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形， ∴BE=CE=4，

　　∵△PCE∽△DCB， ∴=，即x， =， ∴BD=

　　∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45，BP=BE+PE=4+x， ∴PM=，

　　x=x+2x．

　　2∴△PBD的面积S=BD?PM=

　　【点评】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出PM的长是解题关键．

　　变式训练

　　1．（2016陕西）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．

　　求证：

　　（1）FC=FG；

　　（2）AB2=BC?BG．

　　适应训练

　　2．（2016陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

　　【参考答案】

　　变式训练

　　1．（2016陕西）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．

　　求证：

　　（1）FC=FG；

　　（2）AB2=BC?BG．

　　【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．

　　【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；

　　（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．

　　【解答】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，

　　∴EF⊥AD，

　　∵E是AD的中点，

　　∴FA=FD，

　　∴∠FAD=∠D，

　　∵GB⊥AB，

　　∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90，

　　∴∠DCB=∠G，

　　∵∠DCB=∠GCF，

　　∴∠GCF=∠G

　　，∴FC=FG；

　　（2）连接AC，如图所示：

　　∵AB⊥BG，

　　∴AC是⊙O的直径，

　　∵FD是⊙O的切线，切点为C，

　　∴∠DCB=∠CAB，

　　∵∠DCB=∠G，

　　∴∠CAB=∠G，

　　∵∠CBA=∠GBA=90，

　　∴△ABC∽△GBA，

　　∴

　　2=， ∴AB=BC?BG．

　　适应训练

　　2．（2016陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2

　　米，然后，在阳光下，

　　他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

　　如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

　　【考点】相似三角形的应用．

　　【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，

　　△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．

　　【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90，

　　∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，

　　故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，

　　则

　　即==，， =， =，

　　解得：AB=99，

　　答：“望月阁”的高AB的长度为99m．

　　3. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

　　(1)求证：△ADF∽△DEC；