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教师资格笔试备考：数学归纳法

上传者：李义峰
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上传时间：2018-10-17
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教师资格笔试备考：数学归纳法

　　数学归纳法属于推理与证明中证明中的比较常用的方法，下面我简单说说我自己对数学归纳法的理解。

　　1 数学归纳法的原理

　　设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果证明起始命题P1成立;在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立。

　　2 数学归纳法的适用范围

　　数学归纳法是以正整数的归纳公理作为它的理论基础，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，它能帮助我们判断种种与正整数n有关的猜想的正确性。

　　3 用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤

　　第一步：证明当n取第一个值n0时结论正确;

　　第二步：假设当n=k(k属于正整数且大于或等于n0)时结论正确(归纳假设)，证明当n=k+1时结论也正确。

　　综合第一步、第二步，对任何n属于正整数时命题都成立。

　　用数学归纳法进行证明时要分两个步骤，缺一不可。因为证明了第一步就获得了递推的基础，但仅靠这一步你还不能说明结论的普遍性。在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数;证明了第二步就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础，只有把第一步和第二步结合起来，才能获得普遍性的结论，因此，完成了第一步、第二步后，还要做一个总的结论。

　　在第二步中，在递推之前，n=k时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对n=k的正确性可以传递到n=k+1时的情况。有了这一步，联系第一步的结论(命题对n=n0成立)，就可以知道命题对n0+1也成立，进而再由第二步可知n=(n0+1)，即n=n0+2也成立..这样递推下去就可以知道对于所有不小于n0的正整数都成立。在这一步中，n=k时命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1是的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将n=k+1代入命题。

　　4 数学归纳法的应用

　　用数学归纳法证明恒等式

　　用数学归纳法证明恒等式时，首先要搞清楚等式两边的结构特点，注意由n=k到n=k+1时等式两边项的变化情况，关键是如何将式子转化为与归纳假设结构相同的形式，以便使用归纳假设。

　　证明不等式、证明几何问题、证明数或式的整除问题。

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