教资考试|初中数学学科知识：3集合与简易逻辑

　　第一节 集合的概念及表示方法

　　一、集合的概念 ★★

　　集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.构成集合的每个对象(或成员)称为集合的元素.

　　空集：不含任何元素的集合叫做空集.

　　全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.

　　子集：对于两个集合A与B，如果A中任何一个元素都是集合B的元素，则集合A是B的一个子集.记作：A?B，或B?A.

　　真子集：对于两个集合A与B，若A是B的子集且B中至少存在一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作：A?B，或B?A.

　　交集：由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个,真子集的个数为2n-1个.

　　空集?是任何集合的子集.这个结论在解题时容易忽略.

　　集合通常用英语大写字母A、B、C表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c表示.

　　如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA，读作a属于A.如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A，读作a不属于A.

　　常用的数集及其符号:

　　N：非负整数集(或自然数集)

　　N*或N+：正整数集(或自然数集去掉0)

　　Z：整数集

　　Q：有理数集

　　R：实数集

　　二、集合的表示方法 ★

　　1.列举法

　　把集合的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来表示集合的方法叫做列举法.

　　2.描述法

　　用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

　　具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

　　3.区间表示法和图示法

　　4.韦恩(Venn)图

　　用一条封闭曲线(内部区域)直观地表示集合及其关系的图形称为韦恩图.

　　注：有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示.

　　例 用列举法表示下列集合：

　　(1)小于10的所有自然数组成的集合;

　　(2)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;

　　(3)由大于10小于20的整数组成的集合.

　　解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么

　　A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

　　(2)方程x2-2=0有两个实数根2，-2，因此，用列举法表示为：

　　A={2，-2}.

　　(3)大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为：

　　B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.

　　第二节 集合的运算

　　一、交集 ★

　　由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为AB，即AB={x|xA，且xB}.

　　说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.

　　二、并集 ★

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为AB,即AB={x|xA，或xB}.

　　说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).

　　第三节 简易逻辑

　　一、四种命题的基本概念 ★★

　　1.在数学中,用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

　　2.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.

　　3.如果原命题为若p,则q，则它的否命题为若，则.

　　4.四种命题之间的关系

　　5.四种命题的真假性

　　(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真;

　　(2)原命题为真，它的否命题不一定为真;

　　(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.

　　例1把下列命题改写成若p，则q的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.

　　(1)正三角形的三内角相等;

　　(2)全等三角形的面积相等;

　　(3)已知a，b，c，d是实数，如果a=b,c=d,那么a+c=b+d.

　　解：(1)原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.

　　逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形).

　　否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.

　　逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形).

　　(2)原命题:若两个三角形全等，则它们的面积相等.

　　逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的两个三角形全等).

　　否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的两个三角形的面积不相等).

　　逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.

　　(3)原命题:已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d.

　　逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d分别相等.

　　否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不分别相等，则a+cb+d.

　　逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+cb+d,则a与b,c与d不分别相等.