数理统计方法3-4

习题三

? ( ?1)x ?1(1?x)3.1 设 ? 的概率密度为 ?(x)??0?0?x?1 ，其中， ?0 是其他

未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求 的矩法估计。

? x ?1

3.2 设 ? 的概率密度为 ?(x)???0

(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求： 0?x?1 ，其中， ?0 是未知参数，其他

（1） 的矩法估计； （2） 的极大似然估计。

3.3 设总体 ? 服从Poisson分布，概率分布为

P{??k}??k

k!e?? , k?0,1,2,? ，

其中，??0 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求：

（1）? 的矩法估计； （2）? 的极大似然估计。

3.4 设总体 ? 服从几何分布，概率分布为

P{??k}?(1?p)k?1p，k?1,2,? ，

其中，0?p?1 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求 p 的极大似然估计。

3.5 设总体 ? 服从 [a,b] 上的均匀分布，概率密度为

?(x)???(b?a)

?0a?x?b 其他

其中，a?b 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求：

（1） a,b 的矩法估计； （2） a,b 的极大似然估计。

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1?

3.6 已知总体 ? 服从Laplace分布，概率密度为 ?(x)?e

2?

知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求

3.7 已知总体 ? 服从Maxwell分布，概率密度为

x

?

,其中，??0 是未

? 的极大似然估计。

?4xe?

?(x)??a3?0?

2

?

x2ax?0x?0

其中，a?0 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求 a 的极大似然估计。

3.8 设总体?服从对数正态分布，概率密度为

?1(lnx??)2

exp[?]?2?(x)??2??x2?

?0?

2

x?0x?0

，

其中，?,? 都未知，(X1,X2,?,Xn) 是? 的样本，求 ? 和 ? 的极大似然估计。

3.9 设总体 ? 服从 [??1,??1] 上的均匀分布，概率密度为

2

?2?(x)??

?0

??1?x???1

其他

其中，? 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本，求 ? 的极大似然估计。

3.10 设总体 ? 的概率分布为

其中， （0? ?） 是未知参数，利用总体 ? 的如下样本观测值

3

1，0，1，2，1，

求 的矩法估计值和极大似然估计值。

?4x3?

3.11 已知总体 ? 的概率密度为 ?(x)?? 4

??0

６３

0?x? 其他

，其中， ?0 是未知

参数，(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的样本。

（1）求 的矩法估计 ? 。问：这个矩法估计 ? 是不是 的无偏估计？

? 。 （2）求 的极大似然估计 L

3.12 设(X1,X2,?,Xn) 是总体?～N(0,?2)的样本，其中?未知，求常数c，使 2c?Xi2 是 ?2 的无偏估计。

i?1n

3.13 设(X1,X2,?,Xn) 是总体?～N(?,?)的样本，其中?,?未知，求常数c，使 22c?(Xi?1?Xi)2 是 ?2 的无偏估计。

i?1n?1

3.14 设总体?～N(?,?)，（X1,X2,X3）是?的样本，证明下列统计量都是?的无偏估计，并比较哪一个估计最有效： 2

212X1?X2?X3 ， 555

111?2?X1?X2?X3 ， ?632

211?2?X1?X2?X3 。 ?3412?1??

? 是参数 的两个相互独立的无偏估计，且已知D( ?)?2D( ?)。? 和 3.15 设 试求1212

??b ?是 的无偏估计，且在一切这样的线性估计类中方差最小。 常数a,b，使得a 12

? ?3.16 设总体 ? 的概率密度为 ?(x)??x2

??0x? x? ，其中， ?0是未知参数，

(X1,X2,?,Xn) 是 ? 的容量为 n（n?2）的样本 。

（1）求 的极大似然估计 ? ；

（2）求总体 ? 的分布函数 F(x) ；

６４

（3）求 ? 的分布函数 F ?(x) ；

（4） ? 是不是 的无偏估计 ？

?) 。 （5）求 ? 的方差 D(

3.17 设随机地从一批钉子中抽取8枚，测得它们的长度（单位：cm）为

2.14，2.10，2.13，2.15，2.12，2.16，2.13，2.11。

设钉子的长度?～N(?,?2) ，求长度的平均值?的置信水平为 95% 的置信区间。 考虑两种情况：（1）已知??0.01 cm ； （2）?未知。

3.18 对铝的比重（单位：g/cm）进行16次测量，测得样本均值?2.705,样本标准差 3

S?0.029 。设样本来自正态总体 ?～N(?,?2) ，求：

（1）总体均值 ? 的置信水平为 95% 的置信区间 ；

（2）总体标准差 ? 的置信水平为 95% 的置信区间。

3.19 从自动车床生产的螺丝钉中抽取9只，测得质量（单位：g）如下：

5.42,5.29,5.40,5.24,5.58,5.21,5.44,5.49,5.53 。

设螺丝钉的质量?～N(?,?) ，求：

（1）?的置信水平为 95% 的置信区间 ；

（2）?的置信水平为 95% 的置信区间。

3.20 某种炮弹的炮口速度服从正态分布N(?,?)，随机地取9发炮弹作试验，测得炮口速度的修正样本标准差 S*?11（m/s），求 ? 和 ? 的置信水平为 95% 的置信区间。

3.21 设总体?～N(?,4)，样本均值为，要使得总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为 [?0.560,?0.560]，样本容量（样本观测次数）n 必须是多少？

3.22 设用原料 A 和原料 B 生产的两种电子管的使用寿命（单位：h）分别为 ?～N(?1,?1) 和 ?～N(?2,?2) ，其中 ?1，?2 都未知，但已知?1??2。现对这

22222

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求 ?1??2 的置信水平为 0.95 的置信区间。

3.23 甲、乙两人相互独立地对一种聚合物的含氯量用相同的方法各作10次测定，测定值

22的样本方差分别为 Sx?0.6050，设测定值服从正态分布，求他们测定?0.5419 和 Sy

值的方差之比的置信水平为 95% 的置信区间。

23.24 设甲、乙两种灯泡的使用寿命(单位：小时)分别为?～N(?1,?12)和?～N(?2,?2)。

从甲种灯泡中任取5只，测得样本均值?1000，修正样本标准差Sx*?20；从乙种灯泡中任取7只，测得样本均值?980，修正样本标准差Sy*?21。

（1）假定已知?1??2，求?1??2的置信水平为 95％ 的置信区间；

（2）求?1

2的置信水平为 95％ 的置信区间。

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