数理统计方法5-5

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数理统计方法5-5

习题五

5.1 某种钢材的强度 y（单位：kg/mm）与它的含碳量 x（单位：?）有关，现测得数据如下：

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设有 yi??0??1xi??i ，?i～N(0,?2) ，i?1,2,?,5 ，?1,?2,?,?5 相互独立。求：（1）?0,

?,?? ； ?1 的最小二乘估计 ?01

? ，样本相关系数 r 。（2）残差平方和 SSe ，估计的标准差 ?

5.2 对工件表面作腐蚀刻线试验，测得蚀刻时间 x（单位：秒）和蚀刻深度 y（单位：?m）

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设有 yi??0??1xi??i ，?i～N(0,?) ，i?1,2,?,5 ，?1,?2,?,?5 相互独立。

（1）求?0,

?,?? ； ?1 的最小二乘估计 ?01

? ，样本相关系数 r ；（2）求残差平方和 SSe ，估计的标准差 ?

（3）检验H0：?1?0 （显著水平??0.05）。

5.3 在研究钢线的含碳量x（单位：?）与电阻y（单位：??）的关系时，测得数据如下：

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设有 yi??0??1xi??i ，?i～N(0,?)，i?1,2,?,7， ?1,?2,?,?7 相互独立。

（1）求?0,

?,?? ； ?1 的最小二乘估计 ?01

? ，样本相关系数 r ；（2）求残差平方和 SSe ，估计的标准差 ?

（3）求?0,

?1 的置信水平为 95％的置信区间；

（4）检验H0：?1?0 （显著水平??0.05）。

5.4 在一系列不同温度 x（单位：?C）下，观测硝酸钠在100ml水中溶解的重量 y（单

１３３

位：g），得数据如下：

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设有 yi??0??1xi??i ，?i～N(0,?2)，i?1,2,?,9，?1,?2,?,?9 相互独立。（1）求?0,

?,?? ； ?1 的最小二乘估计 ?01

? ，样本相关系数 r ；（2）残差平方和 SSe ，估计的标准差 ?

（3）检验H0：?1?0 （显著水平??0.05）。

5.5 设 yi??0??1xi??i ，?i～N(0,?2)，i?1,2,?,n， ?1,?2,?,?n 相互独

?,?? 是 ?,立，?001

??xi?0。

ni?1

?,??)?0 的充分必要条件是?1 的最小二乘估计。证明：cov(?01

5.6 设 yi??0??1xi??2(3xi2?2)??i，?i～N(0,?2)，i?1,2,3，?1,?2,?3 相互独立，x1??1，x2?0，x3?1。（1）写出矩阵 X，XX 和 (XTX)?1；（2）求 ?0,?1,?2 的最小二乘估计；（3）证明 ?2?0 时，?0,

5.7 为了考察某种植物的生长量 y（单位：mm）与生长期的日照时间x1（单位：小时）以及气温x2（单位：?C）的关系，测得数据如下：

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?1 的最小二乘估计与?2?0 时的最小二乘估计相同。

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１３４

设 yi??0??1xi1??2xi2??i ，?i～N(0,?2)，i?1,2,?,20 ，?1,?2,?,?20 相互独立。求：（1）?0,

?,??,?? ； ?1,?2 的最小二乘估计 ?012

? ，多重相关系数 r ；（2）残差平方和 SSe ，估计的标准差 ?

（3）检验 H0：?1?

?2?0 （显著水平??0.05）；

（4）分别检验 H01：?1?0 和 H02：?2?0（显著水平??0.05）。

5.8 在不同的温度x（单位：?C）下，观察平均每只红铃虫的产卵数y（单位：个），得到数据如下：

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设产卵数y与温度x之间，近似有下列关系：

y??e?x ,

求常系数 ?,? 的估计值。

5.9 某零件上有一条曲线，可以近似看作是一条抛物线 y??0??1x??2x2 。为了在数控机床上加工这一零件，在曲线上测得 11个点的坐标 (xi,yi)数据如下：

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求这条抛物线的函数表达式。

5.10 猪的毛重 W（单位：kg）与它的身长 L（单位：cm），肚围 R（单位：cm）之间，近似有下列关系：

W??L?1R?2 ，

其中，?,

?1,?2 都是常系数。现在对14头猪，测得它们的身长、肚围和毛重数据如下：

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求常系数 ?,?1,?2 的估计值。

１３５

5.11 热敏电阻器的电阻y（单位：Ω）与温度x（单位：?C）之间，近似有下列关系：

y??exp??x??

???? ， ?

其中，?,?,? 都是常系数。现对16个热敏电阻器，测得温度x和电阻y的数据如下：

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求常系数 ?,?,? 的估计值。

5.12 对某种蔬菜的生长期 x（单位：日）和平均每株蔬菜的质量 y（单位：g）进行观

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设生长期 x 与平均每株蔬菜的质量 y 之间，近似有下列关系：

求常系数 ?,?,? 的估计值。

， ??x

1??e

１３６

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