构造数列巧解竞赛
构造数列巧解竞赛题
数列是高中数学的主要内容之一,有些数学问题,通过构造数列往往可以迅速沟通题设与结论之间的联系,使问题得到优解。下面以几道竞赛题为例。
一、解方程(组)
有些方程(组)可从其结构出发构造等差、等比数列来求解。
例1.求方程7?3?2?1的正奇数解。 xy
7x?1?2y?1 解:将原方程变形成7?1?3?2 7?1xy
即1+7+7+…+7=2
显然当x=1时,y=1
当y>1时,易知右边为偶数,欲使左边为偶数,必有x为偶数,
此时,不可能有正奇数解。
故x=y=1
评述:本题构造了等比数列求和公式的形式,同时应用了奇偶性分析,这是一种富于逻辑性的推理论证。
例2 2x-1y-1?(1)?x?y?1?5解方程组? 求实数解 (2)??xy?x?36
5,y?1成等差数列,即 2
55令x??d,y?1??d , 22
5252代入(2)得(?d)(?d)?36 22
5212∴()?d?6,即d=? 22
11当d?时,x?4,y?10;d??时,x?9,y?5 22解:由(1)得x,
经检验,它们都是原方程的解。
评述:本题实质上是构造等差数列,巧设公差解方程,同时要对求出的解进行检验。
二、证明条件等式
从已知等式结构出发,构造数列来快速证明。
例3 已知x,y,z?R,且x+y=z22?2 zx2?r2?x2
求证:xy=rz
证明:由zx?r22?x2
得z,x,x-r成等比数列 2222
x2
2令z=,x?r2?x2q q2则xy?(z?x)x?x?2222241?q q
x21?q rz?(x?xq) ?x4?qq2222
∴x2y2?r2z2
即xy=rz
评述:本题将一个方程变形构造数列代入另一个方程求解的方法十分独特,体现了数列到方程与方程到数列的流畅变换和求解的特色。本题也可以直接消去已知条件中字母z,得到证明。
三、证明不等式 对于型如ai?P这类难度较大的分式不等式,可以联想构造无穷递缩等比数列?1?qi?1in
-{a1qn1}的求和公式:a1+a1q+a1q2+…+a1qn1+…=-a1(|q|?1),它比常规的证明方法要简1?q
便得多。
例4.设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证:112 ??221?xy1?x1?y
(第19届莫斯科科数学竞赛题)
证明:由 |x|<1,|y|<1,得0≤x2<1 0≤y2<1, |xy|<1
11246246??(1?x?x?x??)?(1?y?y?y??)221?x1?y
?2?(x2?y2)?(x4?y4)?(x6?y6)??
?2?2xy?2x2y2?2x3y3???2 1?xy
评注:本题构造了两个无穷递缩等比数列,同时也运用了等比数列的求和公式,思路简洁巧妙。
例5.设a,b,c为正实数,且适合abc=1,求证三十六届IMO试题) 证明:设S=
1113
(第 ???333
a(b?c)b(a?c)c(a?b)2
11111??,则0??1,同理0<?1,又abc?1,于是 abcSaSb
a?2b?2c?2??左边=
ab?acbc?abca?cb
1a?21b?21c?2
????=? 111SSS1?1?1?SaSbSc
111111111111
(2?3?24??)?(2?3?24??)?(2?3?24??)SaSbScSaSaSbSbScSc111111111111
=(2?2?2)?2(3?3?3)?3(4?4?4)??
SabcSabcSabc
111112111113111114
≥?(??)?2?2(??)+3?3(??)?? S3abcS3abcS3abc111
=S?2S?3S?? 333
1
S1111313
=S???(??)??
122abc2abc21?3
?
评注:本题是一道较难的竞赛试题,通过巧妙地构造三个无穷递缩等比数列来证明本题。这类题型,方法独特,规律性强。
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