构造数列巧解竞赛

上传者：陈致明
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上传时间：2015-04-26
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构造数列巧解竞赛

构造数列巧解竞赛题

数列是高中数学的主要内容之一，有些数学问题，通过构造数列往往可以迅速沟通题设与结论之间的联系，使问题得到优解。下面以几道竞赛题为例。

一、解方程（组）

有些方程（组）可从其结构出发构造等差、等比数列来求解。

例1．求方程7?3?2?1的正奇数解。 xy

7x?1?2y?1 解：将原方程变形成7?1?3?2 7?1xy

即1+7+7+…+7=2

显然当x=1时，y=1

当y>1时，易知右边为偶数，欲使左边为偶数，必有x为偶数，

此时，不可能有正奇数解。

故x=y=1

评述：本题构造了等比数列求和公式的形式，同时应用了奇偶性分析，这是一种富于逻辑性的推理论证。

例2 2x－1y－1?(1)?x?y?1?5解方程组? 求实数解 (2)??xy?x?36

5,y?1成等差数列，即 2

55令x??d,y?1??d ， 22

5252代入（2）得(?d)(?d)?36 22

5212∴()?d?6,即d=? 22

11当d?时,x?4,y?10;d??时,x?9,y?5 22解：由（1）得x,

经检验，它们都是原方程的解。

评述：本题实质上是构造等差数列，巧设公差解方程，同时要对求出的解进行检验。

二、证明条件等式

从已知等式结构出发，构造数列来快速证明。

例3 已知x，y，z?R，且x+y=z22?2 zx2?r2?x2

求证：xy=rz

证明：由zx?r22?x2

得z，x，x－r成等比数列 2222

2令z=,x?r2?x2q q2则xy?(z?x)x?x?2222241?q q

x21?q rz?(x?xq) ?x4?qq2222

∴x2y2?r2z2

即xy=rz

评述：本题将一个方程变形构造数列代入另一个方程求解的方法十分独特，体现了数列到方程与方程到数列的流畅变换和求解的特色。本题也可以直接消去已知条件中字母z，得到证明。

三、证明不等式对于型如ai?P这类难度较大的分式不等式，可以联想构造无穷递缩等比数列?1?qi?1in

－{a1qn1}的求和公式：a1+a1q+a1q2+…+a1qn1+…=－a1(|q|?1)，它比常规的证明方法要简1?q

便得多。

例4．设任意实数x，y满足|x|<1，|y|<1，求证：112 ??221?xy1?x1?y

(第19届莫斯科科数学竞赛题)

证明：由 |x|<1，|y|<1，得0≤x2<1 0≤y2<1， |xy|<1

11246246??(1?x?x?x??)?(1?y?y?y??)221?x1?y

?2?(x2?y2)?(x4?y4)?(x6?y6)??

?2?2xy?2x2y2?2x3y3???2 1?xy

评注：本题构造了两个无穷递缩等比数列，同时也运用了等比数列的求和公式，思路简洁巧妙。

例5．设a，b，c为正实数，且适合abc=1，求证三十六届IMO试题) 证明：设S=

1113

(第 ???333

a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

11111??，则0??1，同理0<?1,又abc?1，于是 abcSaSb

a?2b?2c?2??左边=

ab?acbc?abca?cb

1a?21b?21c?2

????=? 111SSS1?1?1?SaSbSc

111111111111

(2?3?24??)?(2?3?24??)?(2?3?24??)SaSbScSaSaSbSbScSc111111111111

=(2?2?2)?2(3?3?3)?3(4?4?4)??

SabcSabcSabc

111112111113111114

≥?(??)?2?2(??)+3?3(??)?? S3abcS3abcS3abc111

=S?2S?3S?? 333

S1111313

=S???(??)??

122abc2abc21?3

评注：本题是一道较难的竞赛试题，通过巧妙地构造三个无穷递缩等比数列来证明本题。这类题型，方法独特，规律性强。

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