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构造数列巧解竞赛

上传者:陈致明
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上传时间:2015-04-26
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构造数列巧解竞赛

构造数列巧解竞赛题

数列是高中数学的主要内容之一,有些数学问题,通过构造数列往往可以迅速沟通题设与结论之间的联系,使问题得到优解。下面以几道竞赛题为例。

一、解方程(组)

有些方程(组)可从其结构出发构造等差、等比数列来求解。

例1.求方程7?3?2?1的正奇数解。 xy

7x?1?2y?1 解:将原方程变形成7?1?3?2 7?1xy

即1+7+7+…+7=2

显然当x=1时,y=1

当y>1时,易知右边为偶数,欲使左边为偶数,必有x为偶数,

此时,不可能有正奇数解。

故x=y=1

评述:本题构造了等比数列求和公式的形式,同时应用了奇偶性分析,这是一种富于逻辑性的推理论证。

例2 2x-1y-1?(1)?x?y?1?5解方程组? 求实数解 (2)??xy?x?36

5,y?1成等差数列,即 2

55令x??d,y?1??d , 22

5252代入(2)得(?d)(?d)?36 22

5212∴()?d?6,即d=? 22

11当d?时,x?4,y?10;d??时,x?9,y?5 22解:由(1)得x,

经检验,它们都是原方程的解。

评述:本题实质上是构造等差数列,巧设公差解方程,同时要对求出的解进行检验。

二、证明条件等式

从已知等式结构出发,构造数列来快速证明。

例3 已知x,y,z?R,且x+y=z22?2 zx2?r2?x2

求证:xy=rz

证明:由zx?r22?x2

得z,x,x-r成等比数列 2222

x2

2令z=,x?r2?x2q q2则xy?(z?x)x?x?2222241?q q

x21?q rz?(x?xq) ?x4?qq2222

∴x2y2?r2z2

即xy=rz

评述:本题将一个方程变形构造数列代入另一个方程求解的方法十分独特,体现了数列到方程与方程到数列的流畅变换和求解的特色。本题也可以直接消去已知条件中字母z,得到证明。

三、证明不等式 对于型如ai?P这类难度较大的分式不等式,可以联想构造无穷递缩等比数列?1?qi?1in

-{a1qn1}的求和公式:a1+a1q+a1q2+…+a1qn1+…=-a1(|q|?1),它比常规的证明方法要简1?q

便得多。

例4.设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证:112 ??221?xy1?x1?y

(第19届莫斯科科数学竞赛题)

证明:由 |x|<1,|y|<1,得0≤x2<1 0≤y2<1, |xy|<1

11246246??(1?x?x?x??)?(1?y?y?y??)221?x1?y

?2?(x2?y2)?(x4?y4)?(x6?y6)??

?2?2xy?2x2y2?2x3y3???2 1?xy

评注:本题构造了两个无穷递缩等比数列,同时也运用了等比数列的求和公式,思路简洁巧妙。

例5.设a,b,c为正实数,且适合abc=1,求证三十六届IMO试题) 证明:设S=

1113

(第 ???333

a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

11111??,则0??1,同理0<?1,又abc?1,于是 abcSaSb

a?2b?2c?2??左边=

ab?acbc?abca?cb

1a?21b?21c?2

????=? 111SSS1?1?1?SaSbSc

111111111111

(2?3?24??)?(2?3?24??)?(2?3?24??)SaSbScSaSaSbSbScSc111111111111

=(2?2?2)?2(3?3?3)?3(4?4?4)??

SabcSabcSabc

111112111113111114

≥?(??)?2?2(??)+3?3(??)?? S3abcS3abcS3abc111

=S?2S?3S?? 333

1

S1111313

=S???(??)??

122abc2abc21?3

?

评注:本题是一道较难的竞赛试题,通过巧妙地构造三个无穷递缩等比数列来证明本题。这类题型,方法独特,规律性强。

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