11-12第二学期复变函数A

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11-12第二学期复变函数A

浙江海洋学院2011-2012学年第2学期

《复变函数》课程期末考试卷（A）

（适用班级： B10数学考试时间：120分钟

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1. 方程Rez2?1所表示的平面曲线为（）

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A. 圆 C. 椭圆

B. 直线 D. 双曲线

?isin)的三角表示式为（） 55

4444

A.?3(cos??isin?) B.3(cos??isin?)

55554444

C. 3(cos??isin?) D.?3(cos??isin?)

5555

2. 复数z??3(cos

3. 以z?0为本质奇点的函数是（） A.

sinz z

z(z?1)

1 z

1?cosz

D.sin

4. Ln(?4?3i)的主值是（）

B．ln5?i(??arctan) 3333

C．ln5?i(???arctan) D．ln5?i(??arctan)

A．ln5?i(???arctan)

zn(10)

5．设f(z)??，则f(0)为（）

n?0n!

A. 0 C. 1

1 10!D.10！ B.

二、填空题（4?5=20分）

1. 已知映射w?z, 则区域0?argz?3?

3在w平面上的象

2. 设函数f(z)在单连域D内解析, G(z)是它的一个原函数,且z0,z1?D,则?z1

z0f(z)dz=_______________________

223. 当a?________时, f(z)?aln(x?y)?iarctany在区域x?0内解析 x

1?z?ez

4. 设f(z)?，则Resf(z)?z?0z2

n 5. 幂级数?z的收敛半径是____________.

n?1n!?

三．已知解析函数f(z)?u?iv的实部u(x,y)?x2?y2?xy, 求f(z)的表达式, 并使其满足f(i)??1?i. （8分）

四. 计算积分（5?4=20分）

?z?rln(1?z)dz （0?r?1）.

2. ?sinz

C(z??2)2dz, C: z?2

3. ?1

z?2(z?1)2sinzdz

4. ?z5

z?21?z6dz

五．（1）求f(z)?z

1?z2eiz在上半平面的所有孤立奇点；并说明它们的类型；

（2）求f(z)在上半平面内各个孤立奇点的留数；

（3）利用以上结果计算积分I????xsinx

??1?x2dx.

(15分)

1六．(1)将函数在点z??1处展开为泰勒级数； z

1(2)利用以上结果，将函数f(z)?2在点z??1处展开为泰勒级数. （9分） z

七. 设f(z)在z?1上解析, 且在z?1上f(z)?1. 证明: 方程f(z)?zn在z?1内具有n个根. （8分）

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