多重积分

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多重积分

多重积分的方法总结

二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步
骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基
本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从
定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分的概念对
应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解．把握这里
的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.
概念的性质；4.计算方法；5.应用．
计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看
被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转
化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算
重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择
合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方
法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直
观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确
定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．
1. 在直角坐标下：
(a) X-型区域
几何直观表现：用平行于 y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两
个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数
1
( ) y y x  和
2
( ) y y x  ；
被积区域的集合表示：
1 2
{( , ) , ( ) ( )} D x y a x b y x y y x      ；
二重积分化为二次积分：
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
b y x
a y x
D
f x y dxdy dx f x y dy 
  
．
(b) Y-型区域
几何直观表现：用平行于 x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两
个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数
1
( ) x x x  和
2
( ) x x x  ；
被积区域的集合表示：
1 2
{( , ) , ( ) ( )} D x y c y d x x x x x      ；
二重积分化为二次积分：
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
d x y
c x y
D
f x y dxdy dx f x y dx 
  
．
2. 在极坐标下：
几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两
个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数
1
( ) r r   和
2
( ) r r   （具

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