棋盘中的数学问题一

2011-2012学年度暑期五年级讲义第四讲棋盘中的数学问题（一）

2011-2012学暑期五年级讲义(2012年7月)

第四讲棋盘中的数学问题（一）

所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．

一、知识要点

1．棋盘中的图形与面积；

2．棋盘中的覆盖问题：

（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：

①m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m、n

中至少有一个是偶数．

②2×n的方格棋盘能用

3｜n．

二、典型例题

（一）棋盘中的覆盖问题：

1、能不能覆盖的问题，

例1．

一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？

（A）3×4（B）3×5（C）4×4（D）4×5

（E）6×3形骨牌覆盖的条件是

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2011-2012学年度暑期五年级讲义第四讲棋盘中的数学问题（一）

例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所

的图形？

例3在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：示

可以用若干块和拼成的图形是第几号图形

例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？

例58×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖

例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？

2、最多能用多少种图形覆盖的问题

例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？

例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？

3、有多少种不同的覆盖方法问题。

例9．用七个1×2的小长方形覆盖右下图，共有多少种不同的

覆盖方法？

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2011-2012

学年度暑期五年级讲义

第四讲棋盘中的数学问题（一）

例10．有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）

（二）、棋盘中面积及其他。

例11这是一个中国象棋盘，（下图中小方格

都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形

边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，

4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，

它们只能在8，9，10，11，12，13，14

中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”

和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋

子为顶点构成的三角形的面积最大？

例12．如右图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁

只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地

行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否

从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设

计一种路线，若不能，请你说明理由．

例13．国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的

棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在

的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果

有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，

不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．

请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能

控制整个棋盘？

例14．小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？

例15．在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．

三、练习题

1、在4×4

的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求

卡片的边缘与格线重合）

答案与提示：3个。提示：右图是一种放法。2、下列图中哪几个能用若干个或拼成？

答案与提示：图（2）。图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是

3的倍数但拼不成；图随心家教

张老师简介：中国农业大学教育学2004年入读数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从2009年开始从事清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源等学校的小升初奥数辅导，先后有张博涵等十多位同学被点招。

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（2）的拼法见右上图

3、能否用9个形如的卡片覆盖6×6的棋盘？

答案与提示：不能。右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的

黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能

盖住18个黑格。

4.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）

答案与提示：6种。用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：

（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；

（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；

（5）4个2×2；（6）16个1×1。

5、用6个形如

方法？

答案与提示：5种。盖住A有下图所示的5种方法，其中左下

图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右

上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1

种覆盖方法。的卡片覆盖右图，共有多少种不同的覆盖

6．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？

答案与提示：不妨先考虑棋子A的情况，共有16种不同的放法，不妨设A就放在左上角．然后考虑棋子B的放法，由于A所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B只能有9种不同放法，不妨设棋子B在右图中位置．类似地C只有

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