自主招生9
上海四校,8校自招训练真题
自主招生模拟测试9
一、 选择题、
1、 如果a b 2，a c
值（） 7试求：(c b) [(a b)2 (a b)(a c) (a c)2]的
A、0 B、1 C、7 D、27
解:原式 (a b)3 (a c)3 1
xy3x2 5xy 7y2
2、 已知：的值为（） ,则：222y2x 5yx 2xy y
A、0.2 B、5 C、41 D、10 41 10
解:由题意可得,2x2 5xy 2y2 0,将此式加到分子上得:原式 5
3、 计算：2006 20052005 2005 20062006的值为（）
A、0 B、1 C、2005 D、2006
解:原式=2006 2005 10001 2005 2006 10001 0
4、 设x1和x2分别为x px 4 0的两个不相等的实根，则下列结果正确的是（） 2
Ax1 2,x2 2 Bx1 x2 4 Cx1 x2 4 Dx1 4,x2 1 解:由 p 16 0得x1 x2 p 4 选B
5、 三角形三边的长分别为a,b,c，满足关系式：21111 的三角形是（） abca b c
A、等边三角形 B、以a为底的等腰三角形
C、以c为底的等腰三角形 D、以上都不对
解:A,B,C均符合题意,所以选D
26、 已知方程2x (3m n)x mn 0，且m n 0，则（）
A、两根都大于0 B、两根都小于n C、一根大于n ，一根小于n D、不能确定 解:根据韦达定理,两根都大于0,根据f(n) 0,C也正确,选AC
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二、
7、 设填空题 1
3 的整数部分为a，小数部分为b，则a2 (1 )ab _______________. 解:不难求得整数部分为2,所以b
7 1,所以原式=10 2
8、 abc都是正数，如果方程：c2x2 (a2 b2 c2)x b2 0没有实数解，那么以abc
为长的线段____________组成一个三角形（填能或者不能）
解: (b c a)(a b c)(a b c)(a b c) 0
而(b c a) (a b c) (a b c) a b c 0
所以三数中至少由一个为正数,所以能
9、 计算：19 199 1999 ...... 1999...9(1999个9) ___________________. 解:原式=20 200 2000 ..... 2 10
令20 200 2000 ..... 2 10
200 2000 ...... 2 10200019991999 1999 S 10S
9S 2 1020002 102000 20 1999 20 原式=9
10、 盒子里有足够数量的棋子，甲乙两个人做游戏，甲每次取5枚，有时也取5-k枚，
乙有时取7枚，有时取7 k枚。据统计，甲先后共取棋子36次，乙先后共取40次，两人取出的棋子总数恰好相等，则盒子中至少有_____________枚棋子。
解:考察k,得出5 k 1,所以7 k 3,乙最少取了40*3 120枚,经验算,甲21次取5 枚,15次取1枚能取到120,所以答案是240
三、 解答题
11、 用1,2,3,4,5,6组成一个6位数abcdef，其中不同的字母代表不同的数。要求2ab，
3abc，4abcd，5abcde，6abcdef，试求出所有符合条件的6位数。
解:根据题意,e 5,bdf是偶数,ac就只能是奇数
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dc为奇数,所以d只能为2或者6 因为4abc,
当d 2,a b c均不可能为3的倍数,矛盾
当d 6,考虑b,f均为偶数,若f 2,a b c布为3的倍数,所以f 4
,321654所以六位数是123654
12、 如图，已知AD AE， ADP AEP，求证PC PB
内容需要下载文档才能查看F
证明:作 ADF AEC,易得全等
DF EC
考察△BFD和△EPD,根据大角对大边,
PD PEDF BD
所以PD DF PE BD 即PC PB
13、 给定自然数a,b,c，证明：
2222（1） 如果ab为偶数，一定可以找到两个自然数c,d，使得a b c d
（2） 如果ab为奇数，满足a b c d的自然数c,d一定不存在。
证明：（1）如果ab奇偶性不同，则k a b 1(mod4)
此时取d 222222k 1k 1,c 22
22如果ab奇偶性相同，则k a b 0(mod4)
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此时取d k 4k 4,c 44
（3） 当ab为奇数，则ab均是奇数，根据题意，a2 b2 2(mod4)
我们知道，x2 0,1(mo4d)，两个整数的平方差不可能为4t 2型的偶数，从而不存在符合条件的自然数，命题成立。
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