高等数学下12

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第9章 （之4）（总第47次）

教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程

**1．解下列问题：

（1）．微分方程y的解是 （ ） yxy()2?1,y()2?1???????满足条件y?

（A）y?(x?1)2 （B）y?(x1)221

24

（C） y?1

2(x?1)21

2 （D）y?(x125

2)4

解：（C）

（2）．微分方程y???2yy?3?0满足条件y?()0??1,y()0?1的解是

（A）y31

3?x?3 （B）x3

3?y?1

（C）y31 x3

3??x?3 （D）3??y?1

解：（C）

**2．求下列微分方程的通解．

（1）xy???y??0；

解： ? xy???y??0 是一不显含因变量y的二阶方程，

令 p?y? ? y???dp

dx ?xp??p?0， ?dpdx

p=?x，

??dpdx

p???x ? lnp??lnx?lnC1 ?p?C1

x，

? dy

dx?C1

x， dy?C1

xdx， ?dy??C1

xdx ，y?C1lnx?C2．

（2）(1?x2)y???2xy??1；

解：y?2x

1?x2y11?x2， y??1

1?x2(x?C1)，

y1

2ln(1?x2)?C1arctanx?C2 ． ） （

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（3）yy????y???0； 2

解：∵yy????y???0， 令 p?y?， 则 y???p2dp，代入方程有 dy

y?p?dp?p2?0， ?dyp(y?dp?p)?0， dy

因为求通解，所以 p满足 y?dp?p?0． dy

由 dp?dy?py??C1dpdy??， ， ?lnp??lny?lnC?p?1?p?yy

?dx?ydy?C12? ydy?Cdx?y?C1x?C2． 1????dyC1?dxy?

∴ 通解：y2?C1x?C2．

（4）(1?y)y2yy????

解：令：y，得 ?p()y,y?pp????

即 22， (1?y)pp???2py22dp2y?dy， 得 p1?y22， p?C(1?y)1

所以

dy?C1dx，通解为：a． rctany?CxC?1221?y

第9章 （之5）（总第48次）

教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构

**1．若y1,y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?R(x)的两个解，试证y2?y1 必是其对应齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解．

证明：因为y1,y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?R(x)的解．

所以成立下式：

???P(x)y1??Q(x)y1?R(x)y1

???P(x)y2??Q(x)y2?R(x)y2(1)(2)

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将 (1)、(2) 两式相减，得

???y2??)?P(x)(y1??y2?)?Q(x)(y1?y2)?0(y1

(2) 式可写为 (3)

(y1?y2)???P(x)(y1?y2)??Q(x)(y1?y2)?0，

所以 y1?y2 是齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 的解．

***2．已知y1?1,y2?1?x,y3?1?x2是方程y???

否求出该方程得通解？若能则求出通解来．

解：按（1）证明可知 y2?y1?x,222y??2y?2的三个特解，问能xxxy3?y1?x2 分别是其对应齐次方程y???

22y??2y?0的解，并且线性无关，所以C1x?C2x2 为齐次方程的通解． xx所以原方程的通解可以表示为：y?C1x?C2x2?1．

tx?0*3．验证：et,e?t是微分方程x的两个线性无关特解，并求此方程的通?x??4

解．

证明：因为 221t2

????t2?1t2?222221e?e?4t2et?2et?4t2et??2tet?4t2et?0， tt

?t2"2222211?t2??e?4t2e?t??2e?t?4t2et??(?2te?t)?4t2et?0， tt?e???

22故et,e?t是方程的解，且

22ete2?t2?e2t?常数． 2 于是et,e?t是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为

x?C1et?C2e?t，

22其中C1,C2为任意常数．

*4．已知函数 y1?ex,y2?x 是方程 (1?x)y???xy??y?0 的两解，试求该方程满足初始条件 y(0)?1,y?(0)?0 的特解．

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解：方程的通解为 y?c1ex?c2x，将初始条件代入，有： y(0)?c1?1，

xy'(0)?c1e?c2?c1?c2?0，

c1?1,c2??1，

解得c1,c2为： 所以特解为： y?ex?x．

**5．设x1(t)是非齐次线性方程

x(t)?a(t)x(t)?a(t)x(t)?f(t)???121 (1)的解．x2(t)是方程

x(t)?a(t)x(t)?a(t)x(t)?f(t)???122

x?xt()?xt()12 (2)的解．试证明

是方程

x(t)?a(t)x(t)?a(t)x(t)?f(t)?f(t)(3)???1212的解．

解：因为x(t),x(t)分别为方程（1）和方程（2）的解，所以 12

??(t)?a1(t)x1?(t)?a2(t)x1(t)?f1(t)x1

x(t)?a(t)x(t)?a(t)x(t)?f(t)???212222

(1)??(2)?得： (1)? (2)?

?x1(t)?x2(t)???a1(t)?x1(t)?x2(t)???a2(t)?x1(t)?x2(t)???即 x 是方程（3）的解． ?xt()?xt()12

f1(t)?f2(t)

第9章 （之6）（总第49次）

教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法

**1．解下列问题：

（1）方程y???8y?0的通解为y?_______________．

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解：y?c1cos22x?c2sin22x．

（2）方程y"?6y'?25y?0的通解为y?_______________． 解：y?e?3x(c1cos4x?c2sin4x)．

（3）方程y???8y??15y?0的通解为y?_______________． 解：y?C1e3x?C2e5x．

（4）方程5y???2y??3y?0的通解为y?_______________． 解：y?e

（3）方程y???6y??py?0的通解为y?ekx(C1cos2x?C2sin2x)，则p?___，?x5(C1x?C2)． k?_____．

解：11，?3．

**2．求解下列初值问题：

（1）y???8y??16y?0,

2y(1)?e4,2y?(1)?0； 解：∵??8??16?(??4)?0， ∴?1，2?4，

（2）y???4y??29y?0,通解为：y?(c1?c2x)e4x． 将初始条件代入，有 y(1)?(c1?c2)e4?e4， y'(1)?c2e4x?4(c1?c2x)e4x?c2e4?4(c1?c2)e4?c2e4?4e4?0 得到：c1?5c2??4， 所以特解为：y?(5?4x)e4x． y()?1,y?()?3； 22??

解：??4??29?0，

通解为：y?e?2x2???4??116?4?10i???2?5i， 22(c1cos5x?c2sin5x)．