高等数学第 14 章9

高数,数学,大学,华理,答案,材料,化学,化工

第 14 章 （之1）（总第75次）

教学内容：§14.1第二型曲线积分 **1．设L:

x cosx, y sint,

0 t

2

,则 x2ydy y2xdx （ ）

L

（A）

2

1

costt sintcostdt； （B） 2cos2t sin2tdt；

20

1122

（C） 2 cost sint dt； （D） 2cost sintdt．

2020

答：(B).

2．计算下列曲线积分： **（1）计算

xdy ydx222

L，其中是圆周x y a(a 0)的逆时针方向． 22

Lx y

xdy ydx

解：令x acost,y asint,则： =dt 2 ． 22

Lx y0

2

**（2） 计算

段弧．

，其中L是曲线

x a(t sint),

(0 t 2 )的一

y a(1 cost)

**(3)计算

，其中L是从O(0，0)沿曲线

，到B(0，2)．

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x2

Ldx 2xydy，其中是由与构成的简单闭曲线． y xy xLx 1

x

dx 2xydy 解：Lx 110xx4

4x)dx ( x)dx (0x 11x 1

**(4)

413

(4x4 x)dx (x5 x2)

052100

1

1

**(5)

xydy xydx222

L，其中是圆在第一象限中自点B R,0 到点x y R L(x2 y2)3

A 0,R 的弧段 R 0 ．

2

3

252

解：

3

x2y2dy

2

5

xy2dxx Rcos 23

y Rsin 0 t

L

(x y)

32n

2

9

R23sin2

cos

6

R

2

1

3R2

2

si dsin

25RR

．

**3. 分别计算质点在力f y2i 2xyj作用下，沿下列各种路径自点A 0,0 移动到 B 1,1 时，f所作的功：

xey 1

（1）y x( 0)； （2）x ； (3) y tan．

4e 1

解：力f y2 i 2xyj.A (0,0),B (1,1)，

（1）W1

L1

y2dx 2xydy x2 2x x x 1dx (1 2 )x2 dx 1．

1

1

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（2）W2

L2

2eey 1 12y2

ydx 2xydy y 2 y dy y(e 1) 1．

0e 1e 1 e 10

1

1

(3) W3

1 22 2 ydx 2xydy tanx 2xtanx secx dx L3 0 4444

1

4 4 2 x tanx x 1． tanx x xtan

44 4 0

**4. 计算曲线积分

L

ycosxydx xsinxydy，其中L自点

A ,0 沿直线到点B ,1 ，在沿双曲线xy 到点

C 1, ，又沿直线到点D 0, ．

解：

ycosxydx xsinxydy

L

sin ydy co s xsin ( 2) dx

0 xx

1

1

sxdx co

1

( cos y)0 ( lnx) sin x1 2 ln ．

110

x2y2

***5. 质点在力场f的作用下，从点A a,0 沿椭圆2 2 1在第一象限内运动到点

ab

B 0,b ，试求力场f所作的功．假定在任一点P x,y 处f的大小等于 而方向指向原点．

1x y

2

2

解：f

1x y

2

2

(

xx2 y2

i

yx2 y2

xi yjj) 2 2

x y

w

L

fds

x y

dx dy 22Lx2 y2x y

2

acost( asint) bsint(bcost)

dt 2222

acost bsint

(a2 b2)sintcost12(b2 a2)dsin2t

dt 2 222222202acost bsinta (b a)sint

2

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1

lna2 (b2 a2)sin2t

2

**6．计算曲线积分 I

20

1a (lnb2 lna2) ln．

2b

f dS，其中C是曲线r(t) ti t2j+t3k自点(0,0,0)到点

C

(1,1,1)，而向量场f为：f(x,y,z) 2xzi xyj+yz2k．

x解： t

y t2

t:0 1

z t3 I 1 2t t

3

t t2 2t t2 t6 3t2

dt

1 2t

4

2t4 3t10

dt

311

．

**7．计算曲线积分：

xdx ydy，其中C为曲线x tcost，y tsint，C

x2 y2 z2

（ t 2 ）． 解：原式 2

tcost cost tsint tsint sint cost

t2

t

2

dt

2

1

2

dt

2

．

第 14 章（之2）（总第76次）

教学内容：§14.2格林公式

*(1) 设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

（ ）

答：(A)

z t

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**(2) 设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则

（ ）

(A) 0. (B) 2π. (C)

答：(A)

2．求下列曲线积分： *(1)计算曲线积分

域的正向边界．

. (D) .

，式中L是由x2+y2≤x, x2+y2≤y 所确定的公共闭区

*(2) 计算曲线积分

界闭区域的正向边界．

，式中L是由y=|x| 及y = x2－2所围成的有

**(3) 计算曲线积分

点的三角形正向周界．

，其中L是以A(1，0)，B(0，1)及E (－1，0)为顶