高等数学第 10 章6

高等数学,习题及答案

第 10 章（之5）（总第57次）

教学内容：§10.4空间曲面

1. 选择题

*(1) 曲面z x y是 （ ）

（A）z绕z轴旋转而成的旋转曲面 xox平面上曲线z（B）zoy平面上曲线z y绕z轴旋转而成的旋转曲面 （C）z绕x轴旋转而成的旋转曲面 xox平面上曲线z（D）zoy平面上曲线z y绕y轴旋转而成的旋转曲面 答：B

** (2) 方程x z 1在空间表示 （ ）

（A）z轴 答：C

（B）球面

（C）母线平行y轴的柱面 （D）锥面

2

2

2

2

y2z2

*(3) 方程x 1是 （ ）

925

2

(A) 单叶双曲面

(C) 椭球面 答：B

2

(B) 双叶双曲面 (D) 双曲抛物面

y2z2

*(4) 双曲面x 1与yoz平面 （ ）

49

(A) 交于一双曲线

(C) 不交 答：C

(B) 交于一对相交直线 (D) 交于一椭圆

*2. 求以M1 (1,4,5),M2 (1,1,1)为直径的两个端点的球面的方程． 解：M1,M2中点为M0 (1,

5

,3)，MM． 12 52

即直径为5，半径为5/2． 故球面方程为

2

2

2

552222

(x 1) (y) (z3)．

22

y z 256x y z 10 0即x ．

高等数学,习题及答案

**3. 动点M到两定点P1 (a,0,0),P2 (4a,0,0)的两个距离之比等于1：2，求动点M的

轨迹方程．

解：设动点M=(x,y,z)

P: 即 4[(x a)2 y2 z2] (x 4a)2 y2 z2， 1M:P2M 12

即 x2 y2 z2 (2a)2 ．

**4．动点M (x,y,z)到点A 0,0,2 的距离和它到xy平面的距离相等,求动点M的轨迹

方程．

解：动点M (x,y,z)到点A 0,0,2 的距离为 d1

**5. 求yOz平面上曲线y z 1分别绕y轴，z轴而成的旋转曲面的方程． 解：绕y轴 ； 绕z轴 x ． x y z 1y z 16. 把下列方程化为标准形式，从而指出方程所表示曲面的名称并画出图形． **（1）x 2y z 2x 4y 1 0； 解：x 2y z 2x 4y 1 0，

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

x2 y2 z 2，

2

动点M到xOy平面的距离为 d2 z

2

d1 d2，

∴动点M的轨迹方程为 x2 y2 z 2 z2， 整理得：x2 y2 4z 4 是旋转抛物面．

x

2

2x 2y2 4y z2 1，

x 1 2 y 1 2 z2

4

2

4

2

2

2

1，是一个单叶双曲面， 中心为M0 1, 1,0 ．

**（2）x 4y z 8y 2z 9 0．

解：x 4y z 8y 2z 9 0， x 4y 2y z 2z 9，

2

2

2

2

2

2

x2 4 y 1 z 1 4，

2

2

z 1 1，是一个双叶双曲面，中心为M 0,1, 1 ． x22 y 1 044

2

高等数学,习题及答案

第 10 章（之6）（总第58次）

教学内容：§10.5向量函数 空间曲线基本知识

x2y2z2

1在xoy平面上的投影柱面方程．

**1. 求曲线 1645

x 2z 3 0

解：消去z，得x 20y 24x 1160 ， 即为所求投影柱面方程．

2

2

x2 y2 2z2 1

**2．求以曲线 2为准线，母线平行于z轴的柱面方程． 22

x y z 1

222 x y 2z 1消z

x2 3y2 1 解：

222 x y z 1

故所求柱面方程为x 3y 1．

22

z x2 y2

**3. 求曲线 在各坐标平面上的投影曲线方程．

x y z 1

解：消去z，得x y x y 1

2

2

x2 y2 x y 1

故在xoy平面上，投影曲线为

z 0

消去x，得z (1 y z) y

2

2

z (1 y z)2 y2故在yoz平面上，投影曲线为

x 0

x (1 x z) 消去y，得z

22

z x2 (1 x z)2

故在x oz平面上，投影曲线为

y 0

高等数学,习题及答案

** 4．把曲面x2 y2 z2 1和x y 1的交线改写为母线分别平行于x轴与y轴的两个

柱面的交线． 解：

x2 y2 z2 1

x y 1

2

(1)

由（1）消去x y 1 y2 z2 1 2y2 2y z2 0， 由（1）消去y x 1 x2 z2 1 2x2 2x z2 0，

2

2y2 z2 2y 0

交线可写为 2． 2

2x z 2x 0

2

2

2

**5. 求由曲面3x y z和z 1 y所围成的立体在 xOy平面上的投影区域．

3x2 y2 z

解：投影区域由交线 在xOy平面上投影曲线所围成 2

z 1 y

3x2 2y2 13x2 y2 1 y2

投影曲线为 ， 故投影区域为 ．

z 0 z 0

**6. 试求曲线

t t

r t ti ej ek 对应于t 0点出的切线方程．

t t

解：r ti ej ek，

x t t x' t 1

∴此空间曲线的参数方程为 y t et y' t et．

t t z t e z' t e

x 0y e0z e0

∴在对应于t 0时， ， 1e0 e0

即：x y 1

z 1． 1

**7. 试求曲线

2

r t 2 cos3t i 2 sin3t j tk 从t 0到t 4这一段的弧长．

x t 2 cos3t x' t 6sin3t

解：空间曲线的参数方程为 y t 2 sin3t y' t 6cos3t．

2 z' t 2t z t t

高等数学,习题及答案

∴ 弧长s

4

x't y't z'tdt

2

2

2

44

36sin23t 36cos23t 4t2dt

29 t2dt 20 9ln3．

第 11 章（之1）（总第59次）

教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：

**（1）. 函数f连续区域是 ． (,xy) ln(x y 1)答：x y 1

2

2

2

2

y x

22

**（2）. 函数f(xy,) x y

0

22x y 022x y 0

， 则（ ）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A）

**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）u

x y；

解：定义域为：(x,y)

y x，见图示阴影部分：

1 xy)； （2）f(x,y) ln(

解：(x,y)xy 1，第二象限双曲线xy 1的上方，第四象限双曲线xy 1的下方（不包括边界，双曲线xy 1用虚线表示）．