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西安电子科技大学数学分析2003年

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西安电子科技大学数学分析2003年

西安电子科技大学2003

一、(60分)填空题。n?1????1??1.数列??1+?n?1,2,??的上确界????n??,下确界。

2.曲线y?f?x?与曲线y?x????1?在原点相切,

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?n3.设f?x?有一个原函数

?。?sinx,则??xf??x?dx?x2n。1??1?2x??4.级数??sin???的收敛区间为n2?x???n?1?

5.设z?xf?x?y??。1g?xy?,其中f,g具有二阶连续导数,则y

。?2z??x?y6.曲线y?ex与直线x?y?1?0之间的最短距离为

7.用关于x的二次多项式ax2?bx?c在原点附近逼近函数1,其差为1?sinx

。x2的高阶无限小,则a?8.??e

Dmaxx2,y2,b?,c???dxdy?,其中D???x,y?0?0?1,0?y?1?。

,其中n?3。n9.f?x??x2ln?1?x?在x?0处得n阶导数f???0??

10.设L为椭圆x2y2

??1,其周长记为a,则43

。???2xy?3x

L2?4y2?ds?

x1?2

2二、(10分)设f?x???e0dt,???x???,判断f?x?的奇偶性、单调

性、凹凸性,求曲线y?f?x?的拐点和水平渐近线,并画出图像。

三、(10分)计算曲面积分???2x?z?dydz?zdxdy,其中S为有向曲面

S

z?x2?y2?0?z?1?,其法向量与z轴正向的夹角为锐角。

四、(10分)设f?x?在区间I上可导且导函数有界,试讨论f?x?在区间I上

的有界性和一致连续性。

五、(10分)设?an?为正值递减数列,?an发散,求lim

n?1?a2?a4+?a2n。n??a?a??a132n?1

六、(10分)设f?x?在?a,b?上二阶连续可导,证明存在c??a,b?使得

?b

a3?a?b?1??f?x?dx??b?a?f??fcb?a。?????224??

七、(10分)设f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?上可导,f?a??0,f??x??1,

?bf?x?dx?,并说明在什么情况下等号成立。fxdx?证明????????a?a???b32

x?lnx?八、(10分)给定函数序列fn?x??,n?2,3,?,问当?在什么范xn

围时,?fn?x??在?0,???上一致收敛。

九、(10分)设fx?x,y?在点?x0,y0?处存在,fy?x,y?在点?x0,y0?处连续,

证明f?x,y?在点?x0,y0?处可微。

十、(10分)设fn?x??sinx?sin2x???sinnx,求证:?

????(1)对任意自然数n,方程fn?x??1在?,?内有且仅有一根。?62?

?????(2)设xn??,?是fn?x??1的根,则limxn?。n??6?62?

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