西安电子科技大学数学分析2003年

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西安电子科技大学数学分析2003年

西安电子科技大学2003

一、（60分）填空题。n?1????1??1．数列??1+?n?1,2,??的上确界????n??，下确界。

2．曲线y?f?x?与曲线y?x????1?在原点相切，

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则

?n3．设f?x?有一个原函数

?。?sinx，则??xf??x?dx?x2n。1??1?2x??4．级数??sin???的收敛区间为n2?x???n?1?

5．设z?xf?x?y??。1g?xy?，其中f，g具有二阶连续导数，则y

。

。?2z??x?y6．曲线y?ex与直线x?y?1?0之间的最短距离为

7．用关于x的二次多项式ax2?bx?c在原点附近逼近函数1，其差为1?sinx

。x2的高阶无限小，则a?8．??e

Dmaxx2,y2，b?，c???dxdy?，其中D???x,y?0?0?1,0?y?1?。

，其中n?3。n9．f?x??x2ln?1?x?在x?0处得n阶导数f???0??

10．设L为椭圆x2y2

??1，其周长记为a，则43

。???2xy?3x

L2?4y2?ds?

x1?2

2二、（10分）设f?x???e0dt，???x???，判断f?x?的奇偶性、单调

性、凹凸性，求曲线y?f?x?的拐点和水平渐近线，并画出图像。

三、（10分）计算曲面积分???2x?z?dydz?zdxdy，其中S为有向曲面

z?x2?y2?0?z?1?，其法向量与z轴正向的夹角为锐角。

四、（10分）设f?x?在区间I上可导且导函数有界，试讨论f?x?在区间I上

的有界性和一致连续性。

五、（10分）设?an?为正值递减数列，?an发散，求lim

n?1?a2?a4+?a2n。n??a?a??a132n?1

六、（10分）设f?x?在?a,b?上二阶连续可导，证明存在c??a,b?使得

a3?a?b?1??f?x?dx??b?a?f??fcb?a。?????224??

七、（10分）设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，f?a??0，f??x??1，

?bf?x?dx?，并说明在什么情况下等号成立。fxdx?证明????????a?a???b32

x?lnx?八、（10分）给定函数序列fn?x??，n?2,3,?，问当?在什么范xn

围时，?fn?x??在?0,???上一致收敛。

九、（10分）设fx?x,y?在点?x0,y0?处存在，fy?x,y?在点?x0,y0?处连续，

证明f?x,y?在点?x0,y0?处可微。

十、（10分）设fn?x??sinx?sin2x???sinnx，求证：?

????(1)对任意自然数n，方程fn?x??1在?,?内有且仅有一根。?62?

?????(2)设xn??,?是fn?x??1的根，则limxn?。n??6?62?

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