2006年全国初中数学竞赛试题

2006年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，

D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填得零分）。

1. 在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处

开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）。

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2. 已知m 1 2，n 1 2，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则a的值等

于（ ）。

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3. Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）。

（A）h 1 （B）h 1 （C）1 h 2 （D）h 2 4. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，

再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）。

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007

5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，DP交AC于点Q．若QP=QO，

则

QC

的值为（ ）。 QA

（A）2 1 （B）23 （C）

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

2 （D）3 2

B6. 已知a,b,c为整数，且a b＝2006，c a＝2005．若a b，则a b c的最大值为

_____________。

7. 如图，面积为ab c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c

是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则

a c

的值等于_____________。

b

1

8. 正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→

B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分.那么，出发后经过_____________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上． 9. 已知0 a 1，且满足 a

1 2 29 a a 18，则 10a 的值等于30 3030

______________。

10. 小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，

成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是___________。

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11. 已知 ABC, B是锐角。从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D；从顶点C向

AB边或其延长线作垂线，垂足为E。当角形？并证明你的结论。

12. 证明：存在无穷多对正整数(m,n)，满足方程m 25n 10mn 7(m n)。

2

2

2BD2BE

和均为正整数时， ABC是什么三BCAB

2

13. 如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB

的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE AC CE KB 。

14. 10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小

组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6。

3

2006年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，

D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填得零分）。

1. 在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处

开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）。

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。 故选C． 2. 已知m 1 2，n 1 2，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则a的值等

于（ ）。

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C．

解：由已知可得 m 2m 1，n 2n 1。又(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，所以(7 a)(3 7) 8, 解得a 9，故选C．

3. Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）。

（A）h 1 （B）h 1 （C）1 h 2 （D）h 2 答：B．

4. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，

再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）。

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B．

2

2

4

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×360°，因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k＋1）－34＝k－33（个），而这些多边形的内角和不少于（k－33）×180°．所以（k＋1）×360°≥34×60×180°＋（k－33）×180°，解得k≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）． 故选B．

5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，

QC

DP交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）。

QA

（A）2 1 （B）23 （C）

2 （D）3 2

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6. 已知a,b,c为整数，且a b＝2006，c a＝2005．若a b，则a b c的最大值为_____________。 答：5013．

解：由a b＝2006，c a＝2005，得a b c＝a＋4011．因为a b＝2006，a＜b，a为整数，所以，a的最大值为1002．于是，a b c的最大值为5013。

7. 如图，面积为ab c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c

是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则

a c

的值等于_____________。 b

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