2006年全国初中数学竞赛试题
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2006年全国初中数学竞赛试题
2006年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,
D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填得零分)。
1. 在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处
开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )。
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90 2. 已知m 1 2,n 1 2,且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8,则a的值等
于( )。
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9 3. Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )。
(A)h 1 (B)h 1 (C)1 h 2 (D)h 2 4. 一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,
再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )。
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
5. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,DP交AC于点Q.若QP=QO,
则
QC
的值为( )。 QA
(A)2 1 (B)23 (C)
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
2 (D)3 2
B6. 已知a,b,c为整数,且a b=2006,c a=2005.若a b,则a b c的最大值为
_____________。
7. 如图,面积为ab c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c
是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则
a c
的值等于_____________。
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1
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8. 正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→
B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分.那么,出发后经过_____________分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上. 9. 已知0 a 1,且满足 a
1 2 29 a a 18,则 10a 的值等于30 3030
______________。
10. 小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,
成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是___________。
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11. 已知 ABC, B是锐角。从顶点A向BC边或其延长线作垂线,垂足为D;从顶点C向
AB边或其延长线作垂线,垂足为E。当角形?并证明你的结论。
12. 证明:存在无穷多对正整数(m,n),满足方程m 25n 10mn 7(m n)。
2
2
2BD2BE
和均为正整数时, ABC是什么三BCAB
2
13. 如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB
的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE AC CE KB 。
14. 10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小
组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6。
3
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2006年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,
D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填得零分)。
1. 在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处
开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )。
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90 答:C.
解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。 故选C. 2. 已知m 1 2,n 1 2,且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8,则a的值等
于( )。
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9 答:C.
解:由已知可得 m 2m 1,n 2n 1。又(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8,所以(7 a)(3 7) 8, 解得a 9,故选C.
3. Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )。
(A)h 1 (B)h 1 (C)1 h 2 (D)h 2 答:B.
4. 一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,
再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )。
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 答:B.
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解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°,因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33)×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了58+33+33×58=2005(刀). 故选B.
5. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,
QC
DP交AC于点Q.若QP=QO,则的值为( )。
QA
(A)2 1 (B)23 (C)
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2 (D)3 2
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6. 已知a,b,c为整数,且a b=2006,c a=2005.若a b,则a b c的最大值为_____________。 答:5013.
解:由a b=2006,c a=2005,得a b c=a+4011.因为a b=2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.于是,a b c的最大值为5013。
7. 如图,面积为ab c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c
是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则
a c
的值等于_____________。 b
5
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