线性代数复习题

线性代数复习题

一、

?123??102?T1. 设A???,B???，则AB?． ??120??4?14?

a11　a12　　a13a31　a32　　a33

a11　a12　　a13a31　a32　　a33

4．设有矩阵A3?4,?2a31　　?2a32　　?2a33?2a11　　?2a12　　?2a132a31　　2a32　　2a332a11　　2a12　　2a13a23??2，则?2a21　　?2a22　　?2a23? . 2．设行列式a21　a22　　a23?1，则2a21　　2a22　　2a23? . 3.设行列式a21　a22　　B4?3,C3?3 ，则下列矩阵运算有意义的是 （ ）

A、A?B B、A?C C、ABC D、AC

5. 设A是m?n矩阵，B是s?n矩阵，C是m?s矩阵（m?n?s），则下列运算有意义的

是 （ ）

（A） AB （B）AB （C）BC T （D）AC T

6．设A、B为n阶矩阵，则下列等式成立的是 （ ）

（A）AB?BA （B）AB?

（C）A?B?A?B （D）(A?B)?1?A?1?B?1

7.设A是m阶方阵，B,C都是m?n阶矩阵，且AB?AC，则（ ）

（A）必有B?C （B）必有B?C

（C）当A?0时，必有B?C （D）当B?C时，必有A?0

?1aad???8. 2bbd的值等于 . ????3ccd??

9.设A,B为n 阶矩阵，则(AB)?1? .

?a11???10.已知矩阵102不可逆，则a? . ????0?11??

11. 排列23167的逆序数为 .

??x1?x2?x3?0,?12.齐次线性方程组?x1??x2?x3?0,有非零解得充分必要条件是?= . ?x?x??x?023?1

?mx?y?z?0,?13.当m?时，方程组?x?my?z?0,只有零解.

?2x?y?z?0.?

114.已知五阶方阵A的行列式A?,则?3A?3

15.向量组?1??1,2,3?,?2??2,4,5?,?3??0,0,6?的秩

?2??，则AB= 。 316.设矩阵A=(4,3,2)，B=????4???

?127??300??,B??120?，则0?2917.设A??AB? . ???????00?2???003??二、

21

3?11.计算行列式D?12

50

2.求下列方程组的通解： 423602 02

?2x4?0?x1?x2?3x?2x?x?x?1?1234 ?2x?3x?x?x?1234?1

??x1?4x2?x3?3x4?1

?2x?y?z?w?1,?3.下列方程组的通解：：?3x?2y?z?3w?4,

?x?4y?3z?5w??2;?

?2x?y?z?w?1,?4.下列方程组的通解：：?4x?2y?2z?w?2,

?2x?y?z?w?1;?

111

5. 计算三阶行列式：abc

a2b2c2

1?102

6.计算行列式D?0?1?12

?12?10

2110

?321?

7.A???315?? 求A?1

??323??

?

8.A??123?

?134?? 求A?1

??212??

??3?20?1?

9.A??0221?

??，求A?1

?1?2?3?2?

?0121??

?111

10.设A???

?11?1??

?, B??123?

??1?24??,求4AB?3A及ATB.

??1?11????051??

11.A???2?14?

?03?2??,B???740?

??132?,求4A-5B,ATB.

?

?310

12. 求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式：A???1?12

??13?4

?32?1

13. 求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式：A???2?13

??705

?

14.矩阵A??230?10?

?315?42??的秩等于 ． ??07?105?4??

2??1?? 4???3?1?1?3??1?8???

三、

1.设A、B、C均是n阶方阵，C可逆，且CAC?B。证明：CAC?B（m为正整数）。

证 因为B?CAC， 而Bm?(C?1AC)(C?1AC)?(C?1AC)（共有m个CAC） ?1?1?1mm?1

?C?1A?CC?1?A?CC?AC?C?1?1AmC。

2. 证明：若A,B为同阶矩阵，且均可逆，则AB亦可逆，且

?1?1?1 (AB)?BA

3.设A? B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵?

4.设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：向量组

?1??1?2?2?3?3,?2?2?1?3?2?4?3,?3?4?3

也线性无关。