高中数学联赛选题

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高中数学联赛选题

1. 在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是_____。

2.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.

3. 设函数f(x) =ax2+8x+3(a<0)．对于给定的负数a ,有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式|f(x)|≤5都成立.

问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.

113

4.函数f(x)=- ??2+在区间[a,b]上最小值2a啊，最大值2b，求[a,b]。

5.p是给定的奇质数，正整数k使得 ??也是一个正整数，则k=_____.

6.补充一个问题：对于正整数??1，??2,??3,……????满足??1+??2+??????=??(M≥n)的正整数组（??1，??2,??3,……????）共有___组。

若??1，??2,??3,……????均是非负整数,那（??1，??2,??3,……????）共有___组。

例题一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2??则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

7.?ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交圆与A1,??1,??1,则

的值为_____。

8. 将2个a和2个b共4个字母填在4×4的16个方格内，每个小方格内至多填1个字母，若相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_____种。

9.设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以2

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一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则AB可用（一条边或者若干条边连成的）空间折线连接的概率是____。 10.设?? ?? =

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