高等数学I第一学期练习册

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高等数学I第一学期练习册

希望能帮到你学好高数

高等数学I(A)练习册

高数教研室

江苏师范大学科文学院

第一章函数和极限

一、本章内容提要

（一）映射与函数

1、集合的概念及运算性质；

1）集合的概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合 1

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2）集合的运算并、交、差、补、笛卡尔积

3）集合的运算性质交换律、结合律、分配律、对偶律

?为半径的开区间叫做a的?邻域。2、邻域的概念以a为中心，记作U(a,?)，

而U(a,?)叫做a的去心?邻域。

3、映射概念、逆映射与复合映射；

4、函数的概念及函数常见的几种特性；

5、反函数与复合函数；

6、基本初等函数及初等函数；

（二）数列的极限

1、数列极限的??N定义；

2、数列极限的性质

1）极限的唯一性；

2）收敛数列的有界性；

3）收敛数列的保号性；

4）收敛数列与其子数列间的关系。

（三）函数极限

1、自变量趋于有限值时函数的极限

1）自变量趋于有限值时函数极限的???定义；

2）单侧极限及极限存在定理。

2、自变量趋于无穷大时函数的极限

1）自变量趋于无穷大时函数极限的??X定义；

2）函数y?f(x)图形的水平渐近线；

3）自变量趋于正无穷大及趋于负无穷大时函数的极限的定义及它们与自变量趋

于无穷大时函数的极限间的关系。

3、函数极限的性质

1）函数极限的唯一性；

2）函数极限的局部有界性；

3）函数极限的局部保号性及推论；

4）函数极限与数列极限的关系。

（四）无穷小与无穷大

1、无穷小

1）无穷小的概念；

2）极限与无穷小的关系；

3）无穷小的性质；

10有限个无穷小的和仍是无穷小；

20有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

30常数与无穷小的乘积是无穷小；

40有限个无穷小的乘积也是无穷小。

4）无穷小的阶的比较 0

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穷小，记作β?0(α)?0,就说β是比α高阶的无?穷小，β??,就说β是比α低阶的无如果lim??α无穷小，?c?0，就说β与α是同阶

?1就说β与α是等价的无穷小。?

2、无穷大的概念

3、无穷小与无穷大的关系

（五）极限运算法则

（六）极限存在准则两个重要极限

1、极限存在准则

单调有界准则；

夹逼准则。

sinx1?1，lim(1?)x?e 2、两个重要极限limx?0x??xx

（七）函数的连续性与间断点

1、函数的连续性

1）函数在一点的连续性；

2）左连续与右连续的概念；

3）函数在开区间内连续的概念；

4）函数在闭区间上连续的概念。

2、函数的间断点及分类

（八）连续函数的性质与初等函数的连续性

1、连续函数的性质；

1）连续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）仍为连续函数；

2）在某区间上单调连续的函数其反函数在对应的区间上也是单调连续的； 3）limg(x)?u0，y?f(u)在u0连续，则limf[g(x)]?f[limg(x)]； x?x0x?x0x?x0

4）g(x)在x0连续，u0?g(x0)，y?f(u)在u0连续，则y?f[g(x)]在x0连续。

2、初等函数的连续性

1）基本初等函数在其定义域内都是连续的；

2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

二、典型习题

11、limxsin? . x?0x

a2、若lim(1?)x?e3，则a? . x??x

ln(1?x)3、求lim. x?0x

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4、求lim(x??x?12x). x

5、lim

6、lim

7、limxsinx??1?cosx? . 2x?0x tan3x? ． x?0sin4x1? x

8、lim

9、当x?0时,x2?sinx是x的（）．

A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.低阶无穷小 D.同阶但不是等价无穷小

?sinax?10、已知函数f(x)??x??3x?0x?0sinx?。 x??x在x?0处连续,则a?

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11、已知lim

2x?b?2,则b? . x?2x?2

12、若lim?(x)?0,则limx?asin[2?(x)]?x?a?(x)

13、分别求曲线y?

14、曲线y?xsin

1的水平渐近线是x4(x?1)?2的铅直渐近线、水平渐近线。 2x

?exx?015、设f(x)?? ，要使f(x)在x?0处连续，则a? . ?a?xx?0

x2?116、函数y?2的间断点是x?3x?2

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