小数奥数第18讲：数阵图(三)

数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题

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数阵图（三）

数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。 例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。

分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有

5＋19＝7＋17＝11＋13，

于是得到下图的填法。

例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。

分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。

例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。

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分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。

例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。

分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。

例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。

分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a）， 2k＝45-a。

2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。 若a＝1，则k＝22； 若a＝3，则k＝21； 若a＝5，则k＝20； 若a＝7，则k＝19；

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若a＝9，则k＝18。

因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。

由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组： 10＝1＋3＋6 ＝1＋4＋5 ＝2＋3＋5，

将这三组数填入9所在的三个面上，可得右图的填法。

练习18

1.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。

2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内，使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。

3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。

4.将1～8填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。

5.20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入右图的八个○中（其

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中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。

6.在左下图的七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等，且为尽量小的质数。

7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。

答案与提示练习

1.有下面四个基本解。

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提示：三个质数之和仍为质数，最小的是2＋2＋3=7。

解：因为1+2＋…＋13=91，从中去掉一个数后应能被3和4整除，即能被12整除。由91÷12＝7……7知，应去掉7。这样，每个横行之和应为84÷3=28，每个竖列之和应为84÷4=21。进一步分析知，六个奇数必然有三个在一列，另外三个各在一列。三个奇数的和为21的只有1＋9＋11和3＋5＋13两组，填好奇数，剩下的数就好填了（见上图）。

因为行与行、列与列可互换，所以上面的两种答案可以变换出288种，但本质上只有以上两种。

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