3排列组合(深化拓展)

排列组合（深化拓展）

一、知识要点回顾

a、分类要求（1）每一类中的每一种方法都可以单独完成此事；

（2）两类不同的方法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；

（3）完成此事的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。 b、分步要求（1）任何一种方法的任意一步都不能完成此事，必须连续走完这

几步才能完成此事；

（2）各步计数相互独立，即上一步的不同方法不会影响到下一步；

（3）只要有一步中所取方法不同，则对应完成此事的方法也不同。

二、方法技巧归纳

1、特殊元素和特殊位置优先策略

Eg：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，先排末位共有

排其他位置3

A3 1C3，再排首位有1C4，再

变式：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其 中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( B )

(A)280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种

解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此 翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任 选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派 方案共有 C(4,1)×A(5,3)=240种

2、相邻问题捆绑策略

Eg：7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

变式：5个男生3个女生站成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？

3、 不相邻问题插空策略

Eg：一个晚会的节目有四个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的

54出场 顺序有多少种？A5 ?A6

变式：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果 1

将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为？30

4、定序问题除序策略

Eg：某晚会节目单中共有7个节目，临时欲加上三个节目，不改变原来的节目顺序，则不 10A10

7A7同的安排方式有多少种？

A77变式1：7人排队，其中甲乙丙三人顺序一定共有多少种不同的排法？3 A3

A99变式2：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？2 A2

5、重排问题求幂策略

Eg：把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？

解：完成此事共需要6步，即把6个人依次分配到7个车间实习，所以共有76种

变式：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法共 有多少种？78种

6、排列组合混合问题先选后排策略

Eg：有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装1球，共有多少种不同的装法？

4 C52?A4

说明：解决排列组合问题，先选后排是最基本的指导思想

变式：一个班有6名战士，其中正副班长各一人，现从中选4人完成四种不同的任务，每 人完成一种任务，且正副班长有且只有一人参加，则不同的选法有多少种？C2?C4?A4 134

7、元素相同问题隔板策略

Eg：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把他们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙，在9个空隙

6中选6个位置插入隔板？C9

小结：将n个相同的元素分成m份，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，

m?1Cn插入n个 元素形成一排的n-1个空隙中，所有分法种数为?1

变式：10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一个，有多少种装法？

8、平均分组问题除法策略

Eg：6本不同的书平均分成3堆，每堆两本，共有多少种分法？

222C?C?C642解：分3步取书，不妨记6本书为ABCDEF，（AB，CD，EF）与（AB，EF，

2

CD）重复，共有3

A3种取法，所以得除以3

A3,共有222C6?C4?C2种 3A3

n小结：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An（n

为均分的组数），避免重复计数

54C13?C84?C4变式1：将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种分法？ 2A2

变式2：某校高二年级共有6个班级，现从外地转来4名学生，要安排到该年级的两个班级

222C4?C2?A6且每班安排2名，则不同的安排方案总数有多少种？ 2A2

9、合理分类与分步策略

Eg：在一次演唱会上共10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱 歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？

解：10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员，以只会唱歌的5人是否

22选上唱歌人员为标准进行研究，只会唱歌的5人没被选上C3，有一人被选上 ?C3

11222，2人被选上C5，由分类计数原理可求得结果 C5?C3?C4?C5

小结：（1）本题分类标准不止一种；

（2）解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事

件发生的连续过程分步，做到标准明确，分类层次清楚，不重不漏，

分类标准一定要贯穿于解题过程

的始终。

变式：从4名男生和三名女生中选出4人 参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又 有女生，则不同的选法共有多少种？

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