2015年第二十届华杯赛决赛初二组试题

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2015年第二十届华杯赛决赛初二组试题

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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初二组）

（时间: 2015年4月11日10:00～11:30）

一、填空题 (每小题10分, 共80分)

1. 1 与 2中, 较大的是．

2. 记N 1 3 5 2013 2 4 6 2014, N除以2015的余数等于．

3. 如图, 在矩形OABC中, OA = 6, OC = 5．反比例函数

y 7的图象分别与AB和BC交于E和F点．那么三角x

形OEF与三角形BFE的面积差等于

4. 设A和n都是自然数, 且A (n 7)(n 8)．如果A是平方数, 那么n的最大

可能值是．

5. 用[x]表示不超过实数x的最大整数, 方程x2 3[x] 5 0的所有根的乘积等

于

6. 如图, 直角三角形ABC中, 三角形ADF, 三角形BED和三角

形CFE分别是以A, B, C为顶点的等腰三角形, AC = 17厘米,

BC = 15厘米, 那么三角形DEF的面积是平方厘米．

7. 设a, b为实数, 那么a2 ab b2 a b的最小值是

8. 在右图的八个顶点处分别标上1或 1, 共有4个1和4个 1,

将每个四边形4个顶点处的数相乘, 再将所得的所有的积相

加, 那么其和至多有个不同的数值．

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二、解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9. 13 3s , 求的值． s310. 锐角三角形ABC中, C 2 B, AB ,

BC CA 32, 求三角形ABC的面积．

11. 实数 a 满足a5 a 1 0, 请求多项式a3 a2的值．

12. 面积相同、圆心角分别为60º和45º的扇形薄铁片甲和乙, 在桌面上各自沿

直尺作无滑动的滚动一周（如图示意）, 求薄铁片甲和乙的圆心经过的路线长度之比．

三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 如图所示, 梯形ABCD中, AB//CD．分别以AD, BC为一边向外侧作正方形

ADEF, BCGH, 过E, G分别作CD的

平行线EP, GQ, 过D, C分别作EP, GQ

的垂线, 垂足分别为P, Q, 连接PQ交

EG于点M. 证明：EM MG．

14. 从小到大的不同自然数x1,x2,x3, ,x7满足x1 x2 x3 x7 2015, 则

x4 x5 x6 x7的最小值是多少？

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