小学六年级奥数系列讲座：行程与工程(含答案解析)

行程与工程

内容概述

运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．

典型问题

1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的

米

? 1．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千5

【分析与解】 BE是BC的41，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时55

间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：

另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．

小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．

因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷??6??1?=18(分钟)． ?4?

因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．

从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；

从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；

A至D全程长是(36+54)×65+30×=11.5千米． 6060

2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个

圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是3米，如果它跳到A点，就会经过8

特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?

【分析与解】×4=3

83即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A2

点．

圆半径乘以4后，跳16次到A点．

依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．

1000次跳完后圆周长是1×2=128米．

3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49． 7

4925米，兔跑米． 25967525狗追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间， 4949625 兔追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间． 252

675625 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 42

675625与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大 42 设单位时间内猫跑1米，则狗跑

公约数,即??675625???675,625??16875=8437.5． ,?2?24,2?4?

上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了

8437.5×4925=23437.5米，兔跑了8437.5×=16537．5米． 259

方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间

与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同． 所以猫、狗、兔的速度比为152521::，它们的最大公约数为 352125

1?152521??15,25,21?. ,,?????352125?35,21,253?5?5?7

151251??225，那么狗的速度为??625 353?5?5?7213?5?5?7

211??441． ，则兔的速度为253?5?5?7

3 于是狗每跑300÷(625-225)=单位时追上猫； 4

25兔每跑300÷(441-225)=单位时追上猫． 18 即设猫的速度为

而?,

有猫跑了75?325??3,25?75，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇． ???2?418?4,182757575×225=8437.5米，狗跑了×625=23437.5米，兔跑了×441=16537.5米． 222

75评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是2

一样的，为什么呢?

在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．

1875米追上猫； 4

1225 兔每跑300÷(441-225)×441=米追上猫； 2 于是狗每跑300÷(625-225)×625=

而??18751225??1875,1225?，? ,??2?4,2?4

4．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?

【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间1；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位20

“1”路程，耽搁的时间比为：

?11??11????:????3:4 ?520??420?

而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3． 因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．

于是，甲步行的距离为2×4=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米； 4?3?3