四边形、相似三角形

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1．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

图1 图2

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

① 求证：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重

合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

24．解：（1）① 如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°．………………………………………………………1分 ∴∠1+∠3=90°．

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．……………………2分

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3分 ② 如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

OPCP11?．∴?CP=AD=4． PADA22

设OP=x，则CO=8－x．

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x=(8－x)+4．…………………………………………4分 解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5分 ∴边AB的长为10．

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． 222

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ．又BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=1PQ． 2

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．

又∵∠QFM=∠NFB，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=1QB． 2

111PQ+QB=PB．……………………………………6分 222∴EF=EQ+QF=

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB

EF=1PB

= 2

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的 长度

为．……………………………………………………………7分

1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明

理由．

分（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；

析： （2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求

解；

（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解答： （1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．

又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC， ∴，即，解得：EF=10﹣t．

S△PEF

=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10

∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．

（3）解：存在．理由如下：

①若点E为直角顶点，如答图3①所示，

此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．

∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；

②若点F为直角顶点，如答图3②所示，

此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．

∵PF∥AD，∴，即，解得t=；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．

过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．

∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，

∴PM=BP﹣BM=3t﹣t

=t．

在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，

t．

2t）=t2． ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣2在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）+（10﹣t2﹣85t+100．

在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，

即：（10﹣t）2=（

化简得：

解得：t=

∴t=．

秒或t=秒时，△PEF为直角三角形． t2）+（t2﹣85t+100） t2﹣35t=0， 或t=0（舍去） 综上所述，当t=