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四边形、相似三角形

上传者:胡智宏
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上传时间:2015-05-05
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四边形、相似三角形

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1.矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.

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图1 图2

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

① 求证:△OCP∽△PDA;

② 若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长.

(2)如图2,在(1)的条件下,擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上(不与点P、A重

合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF的长度;若变化,说明理由.

24.解:(1)① 如图1,∵四边形ABCD是矩形,

∴∠C=∠D=90°.………………………………………………………1分 ∴∠1+∠3=90°.

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∴∠2=∠3.……………………2分

又∵∠D=∠C,

∴△OCP∽△PDA.……………………………………………………3分 ② 如图1,∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,

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OPCP11?.∴?CP=AD=4. PADA22

设OP=x,则CO=8-x.

在Rt△PCO中,∠C=90°,

由勾股定理得 x=(8-x)+4.…………………………………………4分 解得:x=5.

∴AB=AP=2OP=10.………………………………………………………5分 ∴边AB的长为10.

(2)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2. 222

∵AP=AB,MQ∥AN,

∴∠APB=∠ABP=∠MQP.

∴MP=MQ.又BN=PM,

∴BN=QM.

∵MP=MQ,ME⊥PQ,

∴EQ=1PQ. 2

∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF.

又∵∠QFM=∠NFB,

∴△MFQ≌△NFB.

∴QF=1QB. 2

111PQ+QB=PB.……………………………………6分 222∴EF=EQ+QF=

由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°.

∴PB

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EF=1PB

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= 2

∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的 长度

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为.……………………………………………………………7分

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1、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).

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(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;

(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;

(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明

理由.

分(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;

析: (2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求

解;

(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.

解答: (1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.

又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.

∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.

∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,

∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,

∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.

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(2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,

∴△AEF∽△ABC, ∴,即,解得:EF=10﹣t.

S△PEF

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=EF?DH=(10﹣t)?2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10

∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.

(3)解:存在.理由如下:

①若点E为直角顶点,如答图3①所示,

此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.

∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;

②若点F为直角顶点,如答图3②所示,

此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.

∵PF∥AD,∴,即,解得t=;

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③若点P为直角顶点,如答图3③所示.

过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.

∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,

∴PM=BP﹣BM=3t﹣t

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=t.

在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,

t.

2t)=t2. ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣2在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)+(10﹣t2﹣85t+100.

在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,

即:(10﹣t)2=(

化简得:

解得:t=

∴t=.

秒或t=秒时,△PEF为直角三角形. t2)+(t2﹣85t+100) t2﹣35t=0, 或t=0(舍去) 综上所述,当t=

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