1 数项级数

一、数项级数

1. 设a?0，判别级数?

a2

n?1(1?a)(1?a)

(n?1)(n?2)

2

?

n(n?1)2

(1?an)

的敛散性.

?0,a?1,?1?

??,a?1, ?2??1,a?1,

解：由于lim

a

(1?a)(1?a2)

(1?an?1)(1?an)

n??

a

(1?a)(1?a2)

n(n?1)2

an?1

?lim

n??1?an?1

由正项级数的比值审敛法可知，当a?1时该级数收敛；

而当a?1时，由于x?0时ex?1?x，有

a

(1?a)(1?a2)

n(n?1)2

(1?an)

?

1

(1?a?1)(1?a?2)

1?

?

1(1?a?n)

?aa?1

?e

?

k?1

n

a?k

?

?e

1?

a

?e，

由此可知，此时级数发散. 2. 设an??

n?

?11

?xsinx，求级数???an?1n?1?an

??

?的和. ??

n?

解：令x?n??t, 则an??

n?

?n??t?sintdt=n??0

sint?an，

n?

an?

2

?

n?

n2?

sindt?

2

n2??2

?

?

sintdt（sint的周期为?） sintdt?n2?，

?

?

于是

n

111?11?

?????，

anan?1?nn?1?

?Sn??k?1?n?? k?1

?

1?

1??， n?1?

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??n?1?

?3?1??1???nn?1??1sinnt3. 设an??2tdt，证明：?发散. 0sintn?1an

证明：（方法一）对于正项级数?

?31，有： an?1n??2sinntsinntan??2tdt??2tsinntdt 300sintsint

?

??2

0?sin2ntt3sin2nt2tdt??()dt 0sintsin3tt2

?n?22sinntsins32?M?2dt?nMds 22?00ts3

?nM3??

0sin2t3?dt?nM， t22

?1121于是?，由比较收敛法则，级数发散. ?an?M3nan?1n说明：⑴??

0?sin2t112???2sintcost2dt?sintd(?)??sint??dt 2?000tttt

??

D?0?sintsin2t?dt??dt?. 0tt2⑵ 考虑广义二重积分I???e?xysinxdxdy，其中D:0?x???,0?y???.

一方面，I??sinxdx?0????0edy??sinxdx0?xy??1???xyd(?e) ?0x

??sinx???1????dx； ???sinx(?e?xy)dx??00x0??x

另一方面，I??dy?e00?????xysinxdx????0?1????xye(?ysinx?cosx)??dy 201?y??

????

0?1?dy； 21?y2

所以??sint

0tdt??

2.

证明：（方法二）对于正项级数??1，有：

n?1an

?3?3?3

a??2

0tsinntsintdt??nsinntsinntn0tsintdt??2t

nsintdt 当0?t??

n时，有sinnt?nsint，故

?3

?ntsinnt?

n3?n?2n

0sintdt?0tdt?2； 当??

n?t?2时，有|sinnt|?1，且2

?t?sint?t，故

?3

tsinnt?

dt?t???3?3?n2

?22??dt???????3n nsint?n?2t?8????8

因此a5?2?

n?8n，故1

a?81，由比较判别法，知级数1

2

n5?n?发散. n?1an

说明：⑴当0?t??

n时，有sinnt?nsint.

证明：令f(t)?sinnt?nsint，有f(0)?0；且

f?(t)?ncosnt?ncost?n(cosnt?cost)， 当0?t??

n时，有0?t?nt??，故ocsntocs?t，于是f?(t)?0，即ft()?f0)(0?也就是sinnt?nsint.

⑵当0?t??2

2时，有?t?sint?t. 证明：当0?t??2

2时，sint?t是显然的；下面证明?t?sint. 令f(t)?sint?2(t)?cost?22

?t，由f???0，得t?arccos?，且 当t?(0,arccos2

?)时，有f?(t)?cost?22

??0，故f(t)?sint??t?f(0)?0； 当t?(arccos2?22?

?,2)时，有f?(t)?cost???0，故f(t)?sint??t?f(2)?0，

所以，当0?t??

2时，f(t)?sint?22

?t?0，即证明了?t?sint. ，

4. 设正项级数?an收敛且和为S，试求：

n?1

?

a?2a2?(1)lim1

n??n

?nan

；(2)

a1?2a2??nan

. ?n(n?1)n?1

?Sn?Sn?1

?

解：（1）因为

a1?2a2?

n

?nan

?

Sn?Sn?S1?Sn?S2?

n

S1?S2??Sn?1

n

?Sn??Sn?

S1?S2??Sn?1n?1

?，

n?1n

所以lim

a1?2a2?

n??n

?nan

?S?S?0.

（2）因为

a1?2a2??nana1?2a2?

?

n(n?1)n

a1?2a2?

n

?nan

?nan

?

a1?2a2??nan

n?1

?nan?(n?1)an?1

?an?1

n?1

??

a1?2a2?

记bn?

a1?2a2?

n

?nan

，则

a1?2a2??nan

?bn?bn?1?an?1，

n(n?1)

mm?1

a1?2a2??nan

?b1?bm?1??an?1??bm?1??an ?n(n?1)n?1n?1n?1m

m?1?

a1?2a2??nan

于是 ??lim(?bm?1??an)??an?S.

m??n(n?1)n?1n?1n?1

?

5.

已知0?n?1，证明级数??

an

收敛. 22

n?1m?1m?n

??

证明：对任意的正整数n,k，注意到

kank1?ananan

?(arctan?arctan)? ?dx?2222?1nnn2nn?xm?2n?mk

?

ananan

于是，有 ?2 ???2222

n?mn?1n?mm?1m?2

?

?

an?an1a

??(??1)n

n2n2n

???

an1ana

由题设0?n?1，有?3，故?收敛，从而??2n2收敛.

nn?1nn?1m?1m?nn2

6. 设an?0(n?1,2,)，Sn?a1?a2?

解：设bn?

an，试判别级数?

an

的敛散性. 2

n?1Sn

?

an

，因为Sn严格递增，即Sn?1?Sn，有 2Sn

bn?

anSn?Sn?111

???2

SnSn?1SnSn?1Sn

1

?b?bn1

S1

1Sn

1a1

?

于是 b1?b2?

?

1

S12

， a1

这表明正项级数?bn的部分和有界，由比较判别法得?bn收敛，即?

n?1

n?1

an

收敛. 2Sn?1n

?

7. 设函数?(x)在(??,??)连续，周期为1，且上有连续导数，设an

1

)x??(xd

?

1

?0，函数f(x)在?0,1?

??f(x)?(nx)dx，求证：级数?an2收敛.

n?1

证：由已知条件知 令F(x)?

x

??(u)du???(u)du?

1

12

???(u)du?0，

n?1

n

??(t)dt，则F(0)?F(n)?0，F?(nx)??(nx)，因此

an??f(x)F?(nx)dx?

1

11

f(x)dF(nx) ?0n

1111

?f(x)F(nx)??f?(x)F(nx)dx

0n0n

1111

?f(1)F(n)?f(0)F(0)??f?(x)F(nx)dxnnn0