2015年最新中考数学_三角形专题(精品)

中考数学辅导老师马老师精选编排,包含中考所有三角形相关知识,删繁就简

三角形的基础概念

【考点链接】

三角形中的主要线段：

1．___________________________________叫三角形的中位线．

2．中位线的性质：____________________________________________．

3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)

4.三角形的内角和为180，外角和为360，

5.三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和

【典例精析】

例1 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC的度数．

A

B4

DC

例2 如图，已知D 、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，

若S△ABC＝24cm,求△DEC的面积. 2

B

例3 如图，在等腰三角形ACB中，AC?BC?5，AB?8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），

DE?AC，DF?BC，垂足分别为E，F，求DE?DF的长．

提示：面积法

D

等腰三角形与直角三角形

【考点链接】

一．等腰三角形的性质与判定：

1. 等腰三角形的两底角__________；

2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；

3. 有两个角相等的三角形是_________．

1

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二．等边三角形的性质与判定：

1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．

三．直角三角形的性质与判定：

1. 直角三角形两锐角________．

2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．

3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；

4. 勾股定理：_________________________________________．

5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．

【典例精析】

例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求

这个三角形的腰长及底边长．

例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千

米/时”．?一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，?测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．

（1）试求该车从A点到B的平均速度；

（2）试说明该车是否超过限速．

全等三角形

【考点链接】

1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.

2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.

4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等

.

2

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5. 全等变换

只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把?ABC沿直线BC移动到?A?B?C?和?A??B??C??位置就是平移变换．

②对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换．如图2，将?ABC翻折180到?ABD位置的变换就是对称变换．

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将?ABC绕过A点旋转180到?ADE的位置，就是旋转变换．

这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．

???

图1 图2 图3

【典例精析】

例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.

例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，

且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

相似三角形

【课前热身】

1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．

2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．

3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）

ADAEAE?? B．ABACBC

DEAEDE?? C． D．BCABBCA．AD BDAD AC

4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）ABBCBCAC??；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． A'B'B'C'B'C'A'C'

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点链接】

一、相似三角形的定义

相似多边形：各角相等、各边对应成比例的多边形叫做相似多边形。

相似三角形：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

3

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二、相似三角形的判定方法

1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．

2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2．

3. 两个角对应相等的两个三角形__________．

4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

5. 三边对应成比例的两个三角形___________．

三、相似三角形的性质

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．

2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．

四、位似三角形

1.什么叫位似图形?

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.位似图形的性质

位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

对应点连线都交于位似中心，对应线段平行或在一条直线上

3.利用位似可以把一个图形放大或缩小

4.位似变换的步骤：

①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；

②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；

③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；

④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

【典例精析】

例1 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，使正

方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，?这个正方形零件的边长

是多少？

例2. 在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大

.

4

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【中考演练】

1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．

2. 在Rt?ABC中, ?C为直角, CD?AB于点D,BC?3,AB?5, 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.

C

（第1题） （第2题） （第3题） 3. 如图，在△ABC中,若DE∥BC,

AD1

＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( ) DB2

A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF?AE于F，

试证明△ABF∽△EAD．

锐角三角函数

【课前热身】

1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA

＝ A

．3 C．

2

，则AC的长是（ ） 3

4

D 5

2．Rt?ABC中，∠C=90?，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）

A．

123 B． C． D．1 222

3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0点B（0，－4），则cos?OAB 等于_______．cos30?4．=____________．

1?sin30?

【考点链接】

1．sinα，cosα，tanα定义

sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ． 2．特殊角三角函数值

b

c

5