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2014版中考总复习数学(人教版 全国通用)基础讲练 第14讲 三角形与全等三角形(含答案点拨)

第14讲 三角形与全等三角形

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知识梳理

一、三角形的概念及性质

1.概念

(1)由三条线段________顺次相接组成的图形,叫做三角形.(2)三角形按边可分为:非等腰三角形和等腰三角形;按角可分为:锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.

2.性质

(1)三角形的内角和是______;三角形的一个外角等于与它不相邻的____________;三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角.(2)三角形的任意两边之和______第三边;三角形任意两边之差________第三边.

二、三角形中的重要线段

1.三角形的角平分线

三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的________.

2.三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高线相交于一点,这个点叫做三角形的______.

3.三角形的中线

在三角形中,连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫做三角形的______.

4.三角形的中位线

连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的________.

三、全等三角形的性质与判定

1.概念

能够________的两个三角形叫做全等三角形.

2.性质

全等三角形的__________、__________分别相等.

3.判定

(1)有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS);(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA);(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL).

四、定义、命题、定理、公理

1.定义

对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.

2.命题

判断一件事情的语句.

(1)命题由________和________两部分组成.命题通常写成“如果??,那么??”的形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.

(2)命题的真假:正确的命题称为________;错误的命题称为________.

(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的________,而第一个命题的结论是第二个命题的________,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.

3.定理

经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题.所以不是所有的定理都有逆定理.

4.公理

有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据,这样的真命题叫做公理.

五、证明

1.证明 从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过________,得出它的结论成立,从而判断该命题为真,这个过程叫做证明.

2.证明的一般步骤

(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.

3.反证法

先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾,从而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法叫做反证法.

自主测试

1.△ABC的内角和为( )

A.180° B.360°

C.540° D.720°

2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )

A.3,8,4 B.4,9,6

C.15,20,8 D.9,15,8

3.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(

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)

A.AB=AC B.BD=CD

C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA

4.下面的命题中,真命题是( )

A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等

B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等

C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等

D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等

5.如图,D,E分别是AB,AC上的点,且AB=AC,AD=AE.求证:∠B=∠C.

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考点一、三角形的边角关系

【例1】若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是

( )

A.1 B.5 C.7 D.9

解析:设第三边为x,根据三角形三边的关系可得4-3<x<3+4,即1<x<7.

答案:B

方法总结 1.在具体判断时,可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较.若这两条线段的和大于最长的那条线段,则这三条线段能组成三角形.否则就不能组成三角形.

2.三角形边的关系的应用:(1)判定三条线段是否构成三角形;(2)已知两边的长,确定第三边的取值范围;(3)可证明线段之间的不等关系.

触类旁通1 已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为( )

A.2 B.3 C.5 D.13

考点二、全等三角形的性质与判定

【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.

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解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下:

∵AC=2AB,点D是AC的中点,∴AB=AD=CD.

∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°.

又∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.∴∠BEC=∠AED=90°.∴BE=EC,BE⊥EC.

方法总结 1.判定两个三角形全等时,常用下面的思路:有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等;有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等.在具体的证明中,要根据已知条件灵活选择证明方法.

2.全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系.

触类旁通2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D

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.

求证:△BEC≌△CDA.

考点三、真假命题的判断

【例3】下列命题,正确的是( )

A.如果|a|=|b|,那么a=b

B.等腰梯形的对角线互相垂直

C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形

D.相等的圆周角所对的弧相等

解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.

答案:C

方法总结 对命题的正确性理解一定要准确,判定命题不成立时,有时可以举反例说明道理;命题有正、误,错误的命题也是命题.

触类旁通3 已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中为真命题的是__________.(填写所有真命题的序号)

考点四、证明的方法

【例4】如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E

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. 求证:(1)△BFC≌△DFC;

(2)AD=DE.

证明:(1)∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF.

BC=DC,??在△BFC和△DFC中,?∠BCF=∠DCF,

??FC=FC,

∴△BFC≌△DFC.

(2)如图,连接BD

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.

∵△BFC≌△DFC,

∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB.

∵DF∥AB,∴∠ABD=∠FDB.

∴∠ABD=∠FBD.

∵AD∥BC,∴∠BDA=∠DBC.

∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC.

∴∠BDA=∠BDC.

又BD是公共边,∴△BAD≌△BED.∴AD=DE.

方法总结 1.证明问题时,首先要理清证明的思路,做到证明过程的每一步都有理有据,推理严密.要证明线段、角相等时,证全等是常用的方法.

2.证明的基本方法:(1)综合法,从已知条件入手,探索解题途径的方法;

(2)分析法,从结论出发,用倒推来寻求证题思路的方法;

(3)两头“凑”的方法,综合应用以上两种方法找证明思路的方法.

触类旁通4 如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B,C作AD及其延长线的垂线BE,CF,垂足分别为点E,F.求证:BE=CF

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.

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1.(2012浙江嘉兴)已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于

( )

A.40° B.60° C.80° D.90°

2.(2012贵阳)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是(

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)

A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E

C.BC∥EF D.∠A=∠EDF

3.(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________.

4.(2012广东广州)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD

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.

5.(2012江苏苏州)如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE,AC

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.

(1)求证:△ABE≌△CDA;

(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.

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1.如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12 m,那么AB间的距离不可能是( )

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