2014版中考总复习数学(人教版 全国通用)基础讲练 第14讲 三角形与全等三角形(含答案点拨)

第14讲 三角形与全等三角形

知识梳理

一、三角形的概念及性质

1．概念

(1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．

2．性质

(1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三边；三角形任意两边之差________第三边．

二、三角形中的重要线段

1．三角形的角平分线

三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________．

2．三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______．

3．三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______．

4．三角形的中位线

连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的________．

三、全等三角形的性质与判定

1．概念

能够________的两个三角形叫做全等三角形．

2．性质

全等三角形的__________、__________分别相等．

3．判定

(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．

四、定义、命题、定理、公理

1．定义

对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．

2．命题

判断一件事情的语句．

(1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果??，那么??”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．

(2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________．

(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．

3．定理

经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．

4．公理

有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理．

五、证明

1．证明 从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．

2．证明的一般步骤

(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．

3．反证法

先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．

自主测试

1．△ABC的内角和为( )

A．180° B．360°

C．540° D．720°

2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )

A．3,8,4 B．4,9,6

C．15,20,8 D．9,15,8

3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(

)

A．AB＝AC B．BD＝CD

C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA

4．下面的命题中，真命题是( )

A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等

B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等

C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等

D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等

5．如图，D，E分别是AB，AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C.

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考点一、三角形的边角关系

【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是

( )

A．1 B．5 C．7 D．9

解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.

答案：B

方法总结 1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．

2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．

触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )

A．2 B．3 C．5 D．13

考点二、全等三角形的性质与判定

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：

∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.

∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.

又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.

方法总结 1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．

2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．

触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D

.

求证：△BEC≌△CDA.

考点三、真假命题的判断

【例3】下列命题，正确的是( )

A．如果|a|＝|b|，那么a＝b

B．等腰梯形的对角线互相垂直

C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形

D．相等的圆周角所对的弧相等

解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．

答案：C

方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．

触类旁通3 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)

考点四、证明的方法

【例4】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E

. 求证：(1)△BFC≌△DFC；

(2)AD＝DE.

证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.

BC＝DC，??在△BFC和△DFC中，?∠BCF＝∠DCF，

??FC＝FC，

∴△BFC≌△DFC.

(2)如图，连接BD

.

∵△BFC≌△DFC，

∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB.

∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.

∴∠ABD＝∠FBD.

∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.

∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.

∴∠BDA＝∠BDC.

又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.

方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．

2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；

(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；

(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．

触类旁通4 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF

.

1．(2012浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于

( )

A．40° B．60° C．80° D．90°

2．(2012贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是(

)

A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E

C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF

3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．

4．(2012广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD

.

5．(2012江苏苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC

.

(1)求证：△ABE≌△CDA；

(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．

1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是( )