等价转化思想及其应用

等价转化思想及其应用

等价转化是一种重要的数学思想，近几年来高考试题都要求学生有很强的等价转化意识，转化思想的应用在试题中也处处可见。数学问题的求解过程事实上是一个不断转化的过 程，这种过程体现了“把未知解法的问题化归到在已有知识范围内可解”的求解策略。化归转化分等价转化与非等价转化两种情况。当转化过程中的前因后果是既充分又必要时，则称这种转化为等价转化。

（一）等价转化所遵循的基本原则 1、熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。

例1（1）求适合等式(1?i)x

?2(1?i)

x?2

的x的一切值

(a?

1

（2）求a?2)30展开式中的常数项 1[略解]（1）??i1?i?i ∴原式?ix

?i ∴x?4k?1（k?Z）

2）?a?1?2?1

(a?1)2

（aa

∴原问题?求(a?1)60

展开式中含a30

的系数

∴常数项=C3060

a例2（1）若对任意实数b，方程x?x?b

至多有一个是实数根，

求实数a的取值范围

（2）马路上有编号1，2，3?8，9的九只路灯。为了节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻两只或三只，也不能关掉两端路灯，求满足条件的关灯方法

ya

[略解（]1）原问题?曲线

1?x?

x与y2?b至多有一个交点?函数

y?x?ax有反函数?函数y?x?

a

x在(0,??)单调?a?0

（2）原问题?六个0中间插入三块隔板且不在两端

∴所求方法

?C35?10（种）

2、简单化原则：把复杂的转化为简单的，化难为易。

1?

11例3 证明不等式：2

?

???

1n

?2n

[略解

]

原

不

等

式

n

?

?

n

1

?k?1

k?2(k?k?1)?

1k?1

k

?2(k?k?1)

（k?1,2,3?n）

2(k?k?1)?

21

而k?k?1

?

22k

?

k ∴原不等式得证

例

4 设k为实数，试求出关于

x的方程

x2?2kx?k2?2k?3?0的实数根的范围

[略解] 原问题?求关于k的方程k2

?2(1?x)k?x2

?3?0有实数解时x的取值范围??22

k?4(1?x)?4(x?3)?0 ∴

x?2

3、直观化原则：把抽象的转化为具体的，把数的转化为形的，以

充分利用形的直观性揭示数学问题的本质属性。 例5 解不等式5?4x?x2

?x

[略解] 令y2

1?5?4x?x，y2?x作图像如右

∴原不等式?x?[?5,x?2

A]?[?5,2]

例6 对任何实数a，方程3x?5?ax?b?a恒有实数解。求

的取值范围

[略解] 原问题?对任何实数a

，过定点P (1, b)的直线系

y?a(x?1)?b与曲线y?3x?恒有公共点y?3x?5上 （如图）

∴b≥8

(二) 等价转化的主要途径、方法 1、从问题的形式、特征选择转化途径：问题的条件和结论的表象特征，从而数学问题的形式必是数学问题内涵信息的载体，一个数学问题的形式往往隐含着如何从条件通向结论的启示，抓住问题的形式、特征进行分析，往往得到启迪而有助于选择转化途径。

例7 （1）证明方程(x?m)(2x?2m?a)?1对任何实数a都有两个实根，且一根大于m，另一根小于m

（2）已知两等差数列?an?和?bn?，它们的前n项和之比为

Sn5n?3a10

?'

2n?7，求b10 Sn

2

[略解] （1）令t?x?.m,则原问题?方程2t?at?1?0恒有

???01???tt???012tt?012?2一正根，一负根这显然成立

'

a1?a19S19S19

?a??,b?

a2x0x1?x2

?a?xM??2?a2

2a?b∴ （下略）

[转化3] 设A(acos?,bsin?),B(acos?,bsin?)

则

原

问

题

?

o??2?c??c??2o?0??,??2?(???)?

??a2?b2?

x0?(??c?)c?直线MP在x轴上截距为x0?so

o

（2）

102191019 S19

a10S1998∴原问题?求S'

?19有：b10

S'?1945

2、从命题的等价性选择转化途径：对于一个难以入手的命题，可

以运用充要条件的思想，把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路，因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是转化顺利的前提，同时也是解法灵活的基础。

x2例8 已知椭圆a2

?y2

b2?1（a?b?0），A、B是椭圆上的两

点，且线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

?a2?b2a2?a?xb20?

a

[略解] 设AB中点为M，A(x1,y1),B(x2,y2)[

转

化

1]

原

?

?x2

My

2

?M2

2

?M在椭圆内部??1

?MP?AB????ab?b2

xyM?kM?AB?kMP??1?(?a2y)(MxM?x)??1

0 a2x0a2?b2a2?b2

∴?a?xM?a2?b2?a ∴

?a?x0?

a [转化2] ?MP?AB?PA?PB∴原问题

??

M在椭圆内部

PA?PB

?

?

?

??x22

My??M

?a2b

2?1???

(x222222b2(x22?x2

1)1?x0)?y1?(x2?x0)?y2?(x1?x2)(x1?x2?2x0)?y2?y1?

a2?2a（下略）

3、从不同的数学结构的关系映射选择转化途径：当一个数学问题在原来的结构体系中直接求解较为困难时，可以通过数学变换，把它等价映射到另一结构体系中去，使问题获解。

例9 设单位圆

x2?y2?1内任意两点A(xA,yA),B(xB,yB)，P(x,y)为以线段AB为直径的圆上任意一点。求证：x2?y2?2

[略解] 设A、B、P对应的复数分别为z1,z2,z

z1?zz1?z2则原命题?若z1?1,zz?2

?

2?1，且

22，求证：z2

?2

?

z1?z2

?z?12

2(z1

1?z2)?z?2z1?z2

则

2

?z2

2

z?(

z12?z1?z2

)2?

z1?z2?z1?z2

12

2

2

?

2

(2z222

1?2z2)?z1?z2?2

例10 求同时满足下列两个条件的所有复数z （1）

z?

10z是实数，且1?z?10

z?6

（2）z的实部和虚部都是整数 [略解] 设

z?

10

z

?a

(1?a?6) 则原问题?实系数方程z2

?az?10?0的复数解其实部、虚部均为整数

a40?a2

???a2?40?0∴z?2?2i

?

?a??为整数?40?a2

∴??2为整数 ?a?2或a?6∴z?1?3i或z?3?i

（三）几种常见的等价转化思路

1、利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转化

ex?1例11（1）求函数

y?ex

?1的反函数定义域 （2）求sin2

20?

?cos2

80?

?sin20?

cos80?

的值

ex?1(?1)?1?ex

[略解]（1）?ex?1

?

1?ex， 令A(-1)，B(1) ∴求y的反函数定义域?y的值域?求分AB为定比??ex?0的分点P(y)的范围

∴?1?y?1

（2）注意到所求式与余弦定理类似 由c2?a2?b2?2abcosc?sin2C?sin2A?sin2B?2sinAsinBcosC∴

原

式

=

sin220??sin210??2sin20?sin10?cos150??sin2150??

14

2． 构设函数、方程及不等式进行等价转化

例12 设函数f(x)定义域为D，若存在x0?D，使f(x0)?x0成立，则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图像上的不动点。若函数

f(x)?

3x?a

x?b图像上有两个关于原点对称的不动点，求a、b应

满足的条件。

[略解] 设A(x1,x1),B(x2,x2)为f(x)不动点

?

?

?x1?x2?0??3x1?a

?x1

?b?x1?3x2?a∴?3x?a

?x?b?x2

?x2 ∴原问题?方程x?b（＊）有两个互为

相反数的实数根

由（＊）

?x2

?(b?3)x?a?0 （x?b?0） ?

?

??0?x1?x2?3?b?0∴??x1?b?0,x2?b?0

∴b?3,a?0,a?9

例13 设0?a?1，f(x)?logx?3

a

x?3的定义域为[?,?)，其值

域为(logaa(??1),logaa(??1)] （1） 证明：??3

（2） 证明：f(x)为[?,?)上的减函数

（3） 求a的取值范围 [略解] （1）（2）略。下面证（3） ∵

f(x)

在[?,?)

↓

（??3

）且值域为

(logaa(??1),logaa(??1)]

??log??3

?a????logaa(??1)???33

∴??loga??3?logaa(??1)

∴原问题?方程logx?3

a

x?3?logaa(x?1)在(3,??)上有两相异

实根

x?3

即：x?3?a(x?1)?ax2?(2a?1)x?3?3a?0

在(3,??)上

有两相异实根

?

?

??0?(x?3)?(x?3)?0?2?3∴

?12

0?a??(x1

?3)(x42?3)?0

∴

????a0?a?2????4?

??3．引入相关参数进行等价转化：

在有关探求参数a的取值范围问

题中，当直接构设以参数为元的不等式较为困难时，常可引入a的相关系数?，借助?把问题进行等价转化

x2例14 已知椭圆C：a2

?y2

b2?1（a?b?0），其长轴两端点为

c

A、A'

，如果C上存在一点Q，使?AQA'?120?。求a的取值范

围

c

[略解] 设Q(acos ,bsin )（ 为与a相关的参数）由对称性，

不妨设

0? ?

?

2 （B）

?KA'Q

?bsin bsin acos ?a, KAQ?acos ?a

∴

tg120?

?

KQA?KQA' 1?K?

2absinQAKQA'

(b2?a2)sin2 ???sin ?

2ab

3(a2?b2)

(A)

解

（

B

）

(A)

?0?

2ab

(a2?b2)?1?3(b2hb1a)?2(a)?3?0?a?

3

c2∴a2

?1?(ba)2?1?13?23?63?ca?1

（四）等价转化与非等价转化

把问题A转化为问题B，若B只是A的必要非充分条件或充分非必要条件，则这种转化就是非等价转化。前者可能扩大解集，后者则可能缩小解集。某些问题，或者根本不存在等价交换，或者按等价转化的思路展开求解较为困难。这时，就需要运用等价转化的观点，对不等价转化产生的后果进行控制，以保持问题的解集不变。 例15 已知{an}为公差d不为零的等差数列，Sn为其前n项和，

Sn

是否存在这样的{an}，使对一切n?N，S2n恒为一常数。若存在，则求出{an}的通项表达式；若不存在，则说明理由。 nan(n?1)d

?Sn1?

S?2a1?(n?1)d2n

[略解] 2na2n(2n?1)d?

4a1?

1?2(2n?1)d2 }?S1?S2

∴满足题意的{an存在

S2S4（Ⅰ） Sn∴d2

?2ad?2a?1

1d?0 ∴1 此时，S2n

4 （Ⅱ） ∴存在，an?a1?(n?1)d?(2n?1)a1 （a1?R,a1?0）

说明：第（Ⅰ）步是非等价转化（必要条件），从而需要第（Ⅱ）步来验证充分性

例16 已知x?R，f(x)?sinx(1?

a

cos22x)的最大值为1，求a

的取值范围

[略解] ∵当sinx?1时，f(x)?1 （Ⅰ） ∴

f(x)?sinx(1?

a

2cos2x)的最大值为1?不等式

sixn(1?

a

co22sx)?1恒成立 （Ⅱ）

即：(sinx?1)(a2sin2x?a

2sinx?1)?0

恒成立 ∵sinx?1?0 ∴g(sinx)?a2sin2x?a2sinx?1?a2(sinx?1a

2)2?1?8?0

恒成立

∴g(sinx)的最小值N?0

下面分a?0，a?0，a?0分别求N，即得原问题解：?a?1?a?8?说明：本题的解题关键是等价转化

（Ⅱ），而若无第（Ⅰ）步的说明，

则第（Ⅱ）步的转化是非等价转化（必要条件）。

首页 返回