涉及三个连续自然数的整除问题

上传者：田雄飞
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上传时间：2015-05-09
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涉及三个连续自然数的整除问题

王凯成(笔名王凯),教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会理事会常务理事,第六届中国幻方研究者协会普及教育部副部长,陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会委员,在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文161篇,出版论著26本,2004年到2013年担任《陕西教育》特约编委。近年被陕西师大、河南师大、宝鸡文理学院、郑州师院、成都师院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。

涉及三个连续自然数的整除问题

陕西省小学教师培训中心王凯成赵熹民

题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。

题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。

题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。如何解决这类问题呢？

例1 见题1

解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。以中间数的个位数字是0或5为突破口。

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谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。

100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。

23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。

故159、160、161是符合条件的一组数。

在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？

3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。

例2 见题2

解：能被

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0或5。

从1919的个位数字是7。

随便取一个数试验。

88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862， 3整除1860，但17不整除1861。再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。

1862+570=2432，此时恰好17整除2431。

故2430、2431、2432是符合条件的一组数。

由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k (k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。

例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。

解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什

么不会是9、0、1呢？)。

从7入手。只有□8×7的个位数是6。

400÷7=57……1

58×7=406，因最小数被6整除，它必被3整除，但3不整除404，调整。给404加上70的若干倍。

404+70=474，3整除474, 2整除474，故6整除474。

474、475、476是符合条件的一组数。

以上三例体现了解决这类问题的一般方法：