高阶、隐函数的导数和微分练习题

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上传时间：2015-05-09
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高阶、隐函数的导数和微分练习题

高阶导数

1．填空题.

（1）y?10x，则y?n??0??（2）yn?sin2x，则y???x?? ..

2．选择题.

（1）设f(x)在???,???内为奇函数且在?0,???内有f?(x)?0，f??(x)?0，则f(x)在???,0?内是( )

C.f?(x)?0且f??(x)?0； B.f?(x)?0 且f??(x)?0； f?(x)?0且f??(x)?0； D.f?(x)?0 且f??(x)?0.

（2）设函数y?f?x?的导数f?(x)与二阶导数f??(x)存在且均不为零，其反函数为x???y?，则????y??( )

A．f???x?1； B. ?2f??xfx?????

?f??x???f???x?；C. ； D. ?. 3f??xf?x23. 求下列函数的n阶导数. (1) y?(1?x). (2) y?5.

4．计算下列各题.

（1）yx?1?4?，求y?2?. xx?1（2）y

（3）y?exx2?1，求y?20?. ?1?n?. ，求yx2?3x?2

2??（4）y?sinx，求y

2?n?. ?50.?（5）y?xsin2x, 求y.

5. 设f'(cosx)?cos2x，求f''(x).

6. 已知f''(x)存在，y?f(lnx)，求y''.

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1．设xy?e

3322x?siny，求dy. dx2．设x?y?sin3x?6y?0，求dy. dxx?0

3t?x???1?t2

3．求曲线?在t?2处的切线方程和法线方程. 2?y?3t

?1?t2?

4．利用对数求导法求导数.

（1）y?xsinx?ex.

lnx（2）y??sinx?.

dy5．设y?y?x?由方程e?y?5x?0所确定，试求xy3d2y，dx2

x?0. x?0

6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.

??x?lnsintdy?????. 0?t?（1）设?，，求?t??dxy?tan1?e????

?x?3t2?2t?3dy（2）设y?y(x)由?y确定，求. dxt?0?esint?y?1?0

2??ax?bx?c, x?07．已知函数f?x???，在点x?0处有二阶导数，试确定参数a,b,c??ln?1?x?, x?0

的值.

函数的微分

1．填空题.

（1）设y?x2?2x在x0

(2) 设y?2处?x?0.01，则?y?dy?lim?y??f?x?在x0处可微，则?x?0

（3）函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0（4）d ?

3x1dx. x（5）d ?edx.

（6）d ?1

?x2dx.

（7）d ?sec2xtan2xdx..

2．选择题.

（1）设y?f?u?是可微函数，u是x的可微函数，则dy?( )

A．f??u?udx; B．f??u?dx; C．f??u?du; D．f??u?u?du.

（2）若f(x)可微，当?x?0时，在点x处的?y?dy是关于?x的 ( )

A．高阶无穷小；B．等价无穷小；C．同阶无穷小；D．低阶无穷小.

（3）当?x充分小，f?(x)?0时，函数y?f?x?的改变量?y与微分dy的关系是

( )

A．?y?dy; B．?y?dy; C．?y?dy; D．?y?dy.

（4）y?f?x?可微，则dy( )

A．与?x无关； B．为?x的线性函数；

C．当?x?0时是?x的高阶无穷小；

D．当?x?0时是?x的等价无穷小.

3．求下列函数的微分.

（1）y?1?4x. 2x

（2）y?xcos2x.

（3）y?xe.

（4） y?2?xcosx. 1?x2

3（5）y?(lnln2x).

4．设y?x2lnx2?cosx，求dyx?1.

5．f(x)可微，y?f(sinx)?sinf(x)，求dy.

6．y3?x2?xy?y2，求dy.

7．计算.02和ln0.98的近似值.

8.钟摆摆动的周期T与摆长l 的关系是T?2?g，其中g是重力加速度。现有一只挂钟，当摆长为10cm时走的很准确。由于摆长没有校正好，长了0.01cm . 问这只钟每天慢多少秒?

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