竞赛训练题(6)之多元函数积分学

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竞赛训练题(6)之多元函数积分学

221.设区域D?(x,y)x?y?1,y?0，则????1?xD12?y2? .

y??x?y?ln??1??

*2.计算??Dx??? ，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴?x?y

所围成三角形区域.

*3.设区域D由曲线y?sinx,x??

224. 设D??x,y?x?y?1，则?2,y?1,围成，则??x5y?1dxdy. D2???????x

D?y2dxdy? . ?

5.二重积分??xyd?D为曲线r?1?cos ?0? ???与

极轴围成。

*6．设?x?为小于等于x的最大整数，D?(x,y)?x?3,2?y?4，则?????x?y?dxdy= .

答案 1.?

2ln2

?01?x?v,y?u?v,dxdy?det??dudv?dudvx?y?u,x?v，则?1?1?2. 解: 令，

y(x?y)ln(1?)ulnu?ulnvxdy???D?x?y??D?uudv

uulnuuudv?lnvdv)du??000?u?u

21ulnuu(ulnu?u)???du0?u?u ??(1

2t??uu?1?t令，则 10u2du?u （*） 2du??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t(1?t)(1?t)，

(*)??2?(1?2t2?t4)dt10

?2?1

0?2315?1624?2t?t?t??(1?2t?t)dt?5?015 ?31

3. 解：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线y??sinx将区域分为D1,D2,D3,D4四部分。由于D1,D2关于y轴对称，可知在

由于D2上关于x的奇函数积分为零，故D1D3,D4关于x轴对称，可知在D3??x5ydxdy?0；又D2D4上关于y的奇函数

为零，故D3D4??x5ydxdy?0.

因此

4.???xy?1?dxdy????dxdy????dx?5DD?2sinxdy???. ? 25. 解： ??xyd???d ?D0?1?cos 0rcos ?rsin ?rdr 1???sin ?cos ?(1?cos )4d 40

1????cos ?(1?cos )4dcos 40

1116??u(1?u)4du??115。令u?cos 得，原式4

6．??

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?x?y?dxdy?3?D1111?3?4??3?5??6??182222

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