现代数值计算方法习题答案最新整理

现代数值计算方法习题答案最新整理 北京大学出版社 肖筱华版

现代数值计算方法习题答案                   肖筱南版 

现代数值计算方法习题答案

（肖筱南版 北京大学出版社）

习 题 一

1、解：根据误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效

数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此

49×10-2 ：E = 0.005； Er = 0.0102； 2位有效数字.

0.0490 ：E = 0.00005；Er = 0.00102； 3位有效数字.

490.00 ：E = 0.005； Er = 0.0000102；5位有效数字.

22 = 3.1428 …… ， ? = 3.1415 …… ， 7取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.

E0.0013 E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；Er = = = 0.00041. 3.143.142、解：

3、解：的近似值的首位非0数字?1 = 1,因此有

|Er*(x)|?11-4?10?(n?1) < = × 10 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 2?12

111*n?11*n?1n**4、证：E(x)?(x)E(x)?(x)(x?x*) nn

Er(x)?*E(x)

*x*1(x)?n1?1*n(x?x*)x*1x?x*1??Er(x*) *nxn

5、解：(1)因为20?4.4721…… ，

又E(x*)?|x?x*| = |20?4.47| = 0.0021 < 0.01, 所以 x*? 4.47.

(2)20的近似值的首位非0数字?1 = 4,因此有

|Er*(x)|?1?10?(n?1) < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，x*? 4.47. 2?4

6、解：设正方形的边长为x,则其面积为y?x2，由题设知x的近似值为x*= 10 cm .  1

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记y*为y的近似值，则

= 0.1， E(y*)?2x*(x?x*)?20(x?x*)?20E(x*) <

所以E(x*) < = 0.005 cm .

7、解：因为E(xn)?nxn?1(x?x*),

E(xn)x?x*

所以Er(x)??n?nEr(x)?0.01n. nxxn

8、解：

9、证：E(S)?S?S*?gt(t?t*)?gtE(t)

S?S*gt(t?t*)2E(t)?? 由上述两式易知，结论. Er(S)?2Stgt/2

10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.

11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……

（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形. 1**12、解： 因为x0?2,x0?1.41,所以|x0?x0| < = ?10?2?? 2

于是有

***| = |10x0?1?10x0?1| = 10|x0?x0| < =10? |x1?x1

***|x2?x2| = |10x1?1?10x1?1| = 10|x1?x1| < =102?

* 类推有 |x10?x10| < =1010??1?108 2

即计算到x10，其误差限为1010?，亦即若在x0处有误差限为?，则x10的

误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.

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习 题 二

1、 解：只用一种方法.

（1）方程组的增广矩阵为：

?2?1?1?4??2?1?1?4??2?1?1?4?? → ?011?1?10? → ?011?1?10? ?34211? ???????????3?24?11???0?111?10???001?1?? → x1?3 , x2?1 , x3?1 .

（2）方程组的增广矩阵为：

?3?14?7??3?14?7??3?14?7?? → ?05?2?4? → ?05?2?4? ? ??12?2?1?????????2?2?2?1?????2?3?2?0??01?00

→ x1?2 , x2?1 , x3?1/2 .

（3）适用于计算机编程计算.

2、 解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得

u11?6 u12?2 u13?1 u14??1

l21?a21/u11?1/3 l31?a31/u11?1/6

l41?a41/u11??1/6

第二步：计算U的第二行，L的第二列，得

u22?a22?l21u12?10/3 u23?a23?l21u13?2/3

u24?a24?l21u14?1/3 l32?(a32?l31u12)/u22?1/5

l42?(a42?l41u12)/u22?1/10

第三步：计算U的第三行，L的第三列，得

u33?a33?l31u13?l32u23?37/10

u34?a34?l31u14?l32u24??9/10

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l43?(a43?l41u13?l42u23)/u33??9/37

第四步：计算U的第四行，得

u44?a44?l41u14?l42u24?l43u34??955/370

?6?2 从而， ??1???121?1?410?? 14?1??0?13?

?1000??621?1??1/3??010/32/3?1001/3??? = ??1/61/5?9/10?10??0037/10???????1/61/109/371000955/370????

由LY?b , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T.

T 由UX?Y , 解得X=（1，-1，1，－1）.

3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式

是否大于零来判断.

32132 a11＝ 3 > 0, = 2 > 0, 220 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称22103

正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：

第一步 分解：A = L LT.

由公式计算出矩阵的各元素：

l11? l21?26 l22? 33

l31?3 l32?? l33?2 33

?

0??

0?. ?2????3?2 因此， L ＝???3??30636?3

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第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （56，，2）T. 33

第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X =（0，2，1）T.

（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式

是否大于零来判断.

32332a11＝ 3 > 0, = 2 > 0, 220 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称223012

正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：

第一步 分解：A = L LT.

由公式计算出矩阵的各元素：

l11? l21?23 l22?6 3

l31? l32??6 l33?

?3?2 因此， L ＝???3?03?60??0? . ?

第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （536T ，?）. 363

11 第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X = （1，，）T . 23

4、解： 对i?1 , d1?a11?2 ；

15 对i?2 , t21??1 , l21?? , d2?? ； 22

71727对i?3 , t31?1 , t32? ,l31? , l32?? ,d3? . 2255??2?1 所以数组A的形式为： A????2

?1

?2?

 505?27?5?0??0? ?27??5?