整理往届竞赛习题-线面积分

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整理往届竞赛习题-线面积分

(2)

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计算∫∫∑2，其中∑

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为下半球面z=a>0. 四、已知平面区域 D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π} ，L为D的正向边界，试证：

（1） ∫xe

Lsiny sinysinxdy ye sinxdx= xedy yedx ； ∫L

siny sinx（2） ∫xedy yedx≥52π. 2

六（本题共15分）、设函数 (x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分∫v

C2xydx+ (x)dy的值为常数. x4+y2

(1) 设L为正向闭曲线(x 2)2+y2=1. 证明:

(2) 求函数 (x)； v∫L2xydx+ (x)dy=0； 42x+y

(3) 设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求∫v

C2xydx+ (x)dy. 42x+y

x2+3y2=1五、（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转=z0

形成的椭球面的上半部分（z≥0）（取上侧）, Π是S在P(x,y,z)点处的切平面, ρ(x,y,z)是原点到切平面Π的距离, λ,μ,ν表示S的正法向的方向余弦. 计算：（1）∫∫SzdS; （2）∫∫z(λx+3μy+νz)dS. ρ(x,y,z)S

( 15 ) f(x) a,b,c

Σ x2+y2+z2=1,

1√I=f(ax+by+cz)dS. I=2πf()du.

Σ 1

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