高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——西姆松定理

上传者：彭向前
|
上传时间：2015-04-15
|
密次下载

高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——西姆松定理

内容需要下载文档才能查看内容需要下载文档才能查看

西姆松定理：若从 ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，

垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线；

证明：连接DE、DF，显然，只需证明 BDE FDC即可；

BDP BEP 90 B、E、P、D四点共圆，

BDE BPE同理可得： FDC PFC

又 BEP PFC 90 且 PCF 180 PBA PBE

BPE FPC BDE FDC D、E、F三点共线

西姆松的逆定理：从一点P向 ABC的三边(或它们的延长线)作垂线，

若其垂足L、M、N在同一直线上，则P在 ABC的外接圆上；

证明：设 ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又O、F、B、D四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线 P、Q、R、S四点共圆

例1.设 ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上；

证明：设 ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆

由西姆松定理有：Q、R、S三点共线

又O、F、B、D四点共圆

且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线

P、Q、R、S四点共圆

例2.四边形ABCD是圆内接四边形，且 D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。

证明：作BG DC,由西姆松定理有：F、E、G共线，

又 BFD FDG DGB 90

四边形BFDG为矩形

对角线FG平分另一条对角线BD

例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；

证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，

BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G

BGF BGC CGF BEC CDA

BGF A 180 ，即圆ABF过点G同理圆AED也过点G

圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G

若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，

由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上，

M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上

例4.设 ABC的外接圆的任意直径为PQ，则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P'、Q'，先证P'A、Q'A分别与点P、Q的西姆松线平行，再证PPQQ是矩形，则PA OA

''''

下载文档

网友关注

2015年山东省中考英语模拟命题比赛试题(9)及答案

2015年中考英语模拟命题比赛试题(4)及答案

2012年浙江省初中毕业生学业考试英语试卷评析

科学8x

2015合肥九年级化学模拟试卷及答案

八年级科学(电路探秘4.4—4.7)复习题

动物体的结构层次

趣味实验

2015年山东省中考英语模拟命题比赛试题(9)及答案

2015年汤塘二中九年级综合科第一次模拟考试试题

八年级科学(电路基本量复习)复习题

八下科学期中卷

中考模拟(4)

网友关注视频

8 随形想象_第一课时(二等奖)(沪教版二年级上册)_T3786594

人教版历史八年级下册第一课《中华人民共和国成立》

冀教版小学数学二年级下册第二单元《租船问题》

【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案，安徽省

苏科版数学八年级下册9.2《中心对称和中心对称图形》

沪教版牛津小学英语（深圳用）五年级下册 Unit 1

苏科版数学七年级下册7.2《探索平行线的性质》

北师大版八年级物理下册第六章常见的光学仪器（二）探究凸透镜成像的规律

七年级英语下册上海牛津版 Unit3

第8课对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，辽宁省

外研版英语七年级下册module3 unit2第一课时

沪教版八年级下册数学练习册21.4（1）无理方程P18

【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店（其五）》优质课教学视频+PPT课件+教案，江苏省

青岛版教材五年级下册第四单元（走进军营——方向与位置）用数对确定位置（一等奖）

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 4

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，天津市

【获奖】科粤版初三九年级化学下册第七章7.3浓稀的表示

二年级下册数学第二课

外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时

七年级下册外研版英语M8U2reading

化学九年级下册全册同步人教版第22集酸和碱的中和反应（一）

沪教版八年级下册数学练习册21.3（3）分式方程P17

人教版二年级下册数学

沪教版牛津小学英语（深圳用）六年级下册 Unit 7

沪教版牛津小学英语（深圳用）五年级下册 Unit 10

二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339

沪教版八年级下次数学练习册21.4（2）无理方程P19

外研版英语三起6年级下册（14版）Module3 Unit1

精品推荐

营造良好的企业文化

分类导航

生物学

彭向前

此文档贡献者

2015-04-15
贡献时间
密
下载次数

教育资源为主的文档平台

文档分类