高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——西姆松定理

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高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——西姆松定理

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西姆松定理：若从 ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，

垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线；

证明：连接DE、DF，显然，只需证明 BDE FDC即可；

BDP BEP 90 B、E、P、D四点共圆，

BDE BPE同理可得： FDC PFC

又 BEP PFC 90 且 PCF 180 PBA PBE

BPE FPC BDE FDC D、E、F三点共线

西姆松的逆定理：从一点P向 ABC的三边(或它们的延长线)作垂线，

若其垂足L、M、N在同一直线上，则P在 ABC的外接圆上；

证明：设 ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又O、F、B、D四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线 P、Q、R、S四点共圆

例1.设 ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上；

证明：设 ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆

由西姆松定理有：Q、R、S三点共线

又O、F、B、D四点共圆

且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线

P、Q、R、S四点共圆

例2.四边形ABCD是圆内接四边形，且 D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。

证明：作BG DC,由西姆松定理有：F、E、G共线，

又 BFD FDG DGB 90

四边形BFDG为矩形

对角线FG平分另一条对角线BD

例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；

证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，

BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G

BGF BGC CGF BEC CDA

BGF A 180 ，即圆ABF过点G同理圆AED也过点G

圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G

若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，

由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上，

M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上

例4.设 ABC的外接圆的任意直径为PQ，则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P'、Q'，先证P'A、Q'A分别与点P、Q的西姆松线平行，再证PPQQ是矩形，则PA OA

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