高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——塞瓦定理

塞瓦定理：

设P、Q、R分别是 ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR

三线共点

BPCQAR的充要条件是: 1PCQARB

证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：

BPS ABPS BMPS ABMCQS BCMAR , PCS ACPS CMPS ACMQAS ABMRBBPCQAR 1PCQARB

BPCQAR再证充分性：若 1，设AP与BQ相交于PCQARB

BPCQAR拻ARAR ‘ 1‘＝PCQARBRBRB段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR例1：证明：三角形的中线交于一点；

证明：记 ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明1 1 1 1

C1BACB1A1

而显然有：AC1 C1B,BA1 AC1,CB1 BA即

AC1BA1CB1 1成立， ABC交于一点；【练习1】证明：三角形的角平【练习2】证明：锐角三角形的例2：在锐角 ABC中,角 C的平分线交

于AB于L，从L作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是

P，证明：CP AB

证：作CK AB下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，

AMCNBK

依塞瓦定理 1又MC CN

MCNBAK

AMBKAMAL

1 AML AKC

AKNBAKAC

BKBCALBC

BNL BKC 即要证 1NBBLACBL

ALBC 1ACBL

CK、BM、AN三线共点，且为P点 CP AB

例3.设AD是 ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则 EDA＝ FDA

证：过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证 EDA FDA， 可以转化为证明AM AN

AD BC故MN//BC，可得 AME CDE， ANF BDF

AMAEANAFAE CDAF BD

, ,于是AM ,AN CDCEBDBFCEBF

BDCEAF

AD、BE、CF共点于P 1

DCEAFB

AE CDAF BD AM AN EDA FDA

CEBF

【练习3】已知 ABC外有三点M、N、R，且 BAR CAN , CBM

ABR , ACN BCM ，证明：AM、BN、CR三线共点；

例4.在 ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1，ACBACBsin ACC1sin BAA1sin CBB1

1 1 1

C1BACB1Asin C1CBsin A1ACsin B1BA1

证：如图对 ACC1和 BCC1应用正弦定理，可得：

AC1sin ACC1CC1ACsin ACC1sin Bsin B 1 C1Csin AC1Bsin C1CBC1Bsin C1CBsin ABAsin BAA1sin CCB1sin CBB1sin A1 ,

A1Csin A1ACsin BB1Asin B1BAsin C从而

AC1BA1CB1sin ACC1sin BAA1sin CBB1

C1BA1CB1Asin C1CBsin A1ACsin B1BA

【练习4】在 ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1，使AA1、BB1、CC1相交于一点，证明，关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交于一点；

课外作业：

1.设A1、B1、C1是 ABC的内切圆与边BC、CA、AB的切点，证明:直线AA1、BB1、CC1三线共点；

2.从圆上的点A、D引切线，相交于点S。在AD弧上取点B和C，直线AC和BD相交于

P，AB和CD相交于点Q，证明，直线PQ过点S；3.在 ABC的边上向外作正方形，A1、B1、C1是正方形的边BC、CA、AB的对边的中点，证明，直线AA1、BB1、CC1相交于一点；

练习1答案：证：记 ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,

AC1bBA1cCB1a

, , C1BaACbBAc11

AC1BA1CB1

1 三角形的角平分线交于一点；C1BACB1A1

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练习2答案：证：记锐角 ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,

a2 b2 c2

设CB1＝x，那么AB1＝b x,则：c (b x) BB1 a x CB1 x

2b

c2 b2 a2b2 c2 a2a2 c2 b2

则：B1A 同理可得：AC1 ,C1B

2b2c2c

AC1BA1CB1c2 a2 b2b2 a2 c2

BA1 ,A1C 1

2a2aC1BA1CB1A

2

2

2

2

锐角三角形的三条高交于一点；

练习3的答案：证：设AM与BC交于M',BN与AC交于N'，CR与AB交于R', ABC的三个内角分别记为 A、 B、 C

1S ABM‘ABsin BAMBM ABsin sin( B )

CM‘S ACM‘ACsin CAMAC CM sin( C ) 1ACsin sin( C )

AM

‘

BM‘ABsin sin( B )CN'BCsin sin( C )ARCAsin sin( A )‘＝＝,＝‘

CMACsin sin( C )AN'BAsin sin( A )BRCBsin sin( B )

‘

AB BM sin( A )

BM'CN'AR' ＝1,根据塞瓦定理可知：AM'、BN'、CR'三点共线。

CM'AN'BR'

练习4的答案：

证：A2、B2、C2位于 ABC的边上，根据例4的结论有：AC2BA2CB2sin ACC2sin BAA2sin CBB2

C2BA2CB2Asin C2CBsin A2ACsin B2BA又

AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA1、BB1、CC1，则

ACC2 C1CB, ACC1 C2CB,

sin ACC2sin BAA2sin CBB2sin C1CBsin A1ACsin B1BA

sin C2CBsin A2ACsin B2BAsin ACC1sin BAA1sin CBB1 从而

C1BACBA

1 1 1AC1BA1CB1

AC2BA2CB2

1 AA2、BB2、CC2三线共点C2BA2CB2A

课后练习答案：

1.证：显然AC1 B1A,BA1 C1B,CB1 A1C

AC1BA1CB1

1即：AA1、BB1、CC1三线共点C1BA1CB1A

sin ASPsin DAPsin SPPsin ASQsin CAQsin SDQ2. 1

sin PSCsin PASsin PPAsin QSCsin QASsin QDA

又 DAP SDQ, SDP DAQ, PAS QDA, PDA QAS, sin ASPsin ASQ S、P、Q位于一条直线上sin PSDsin QSD

3.证：记直线AA1、BB1、CC1与边BC、CA、AB的交点分别为A2、B2、C2

BA2S ABA1ABBA1sin ABAABsin( B )1 ＝

A2CS ACA1ACCA1sin ACA1ACsin( C )其中 ＝ CBA1 BCA1 arctan2CBBCsin( C )2

B2AABsin( A )将上面三条等式相乘可得：BA2CB2AC2

＝1A2CB2AC2B

AC2ACsin( A )

C2BBCsin( B )

AA1、BB1、CC1共点