高中数学竞赛培训专题3---几个重要的不等式

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上传时间：2015-04-15
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高中数学竞赛培训专题3---几个重要的不等式

竞赛培训专题7---几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数，则

时取等号

1.二维平均值不等式的变形，当且仅当a1=a2=…=an

(1)对实数a,b有a+b³2ab (2)对正实数a,b有22

(3)对b>0，有， (4)对ab>0有2，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a³2ab-b 22

(9) 对实数a，b及l¹0，有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取

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代入(9)得有

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两边平方得法二、立，即二次式不等式恒成

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1) (2)

证明：(1)左=[] = ³

(2)由知

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同理：

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相加得：左³

例3.求证：证明：法一、取，有

a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)

222相加得(a1+ a2+…+ an)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0 所以

2 222法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)£(a1+ a2+…+

an2)(12+12+…+12)

222=(a1+ a2+…+ an)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：

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证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

n+1则原不等式即na1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³n

例5.对于正整数n，求证：

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n+1

证明：法一、

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法二、左= =

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证： (1) (2) 证明：(1) 相乘左边³=(n+1) 2n证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

摘自数学教育之窗

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