高中数学竞赛讲座 13平面三角

上传者：陈导
|
上传时间：2015-04-15
|
密次下载

高中数学竞赛讲座 13平面三角

竞赛讲座13

－平面三角

三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．

一、三角函数的性质及应用

三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．

【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。

解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-

内容需要下载文档才能查看

≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。

即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。

【例2】若φ∈（0，

的大小。），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间

解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在（0，）中，y=cosx单调递减，∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】已知x,y∈[-的值。，]，a∈R，且。求cos(x+2y)

解：原方程组化为。

∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t+sint在[-3，]上单调递增，且f(x)=f(-2y) ∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．

证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，

∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．

对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。

显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。

故存在唯一的c＜d，使命题成立。

【例5】α、β、γ∈（0，

比较α、β、γ的大小。），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。

解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。

【例6】 n∈N，n≥2，求证：cos·cos· ··· ·cos>。

证明：∵0<<<···<<<1， ∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，…，n。 ∴(cos·cos· ··· ·cos)>(2·)·(·)·(·

内容需要下载文档才能查看

)···(·) =·>>()，

内容需要下载文档才能查看

∴cos·cos· ··· ·cos>。

二、三角恒等变换

众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。

【例1】（1）已知cosβ= -

的值。，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα

（2）已知sin(-α)= ，求的值。

提示：（1）sinα=。

（2）sin2α=1-2 sin(2-α)=；=。

【说明】三角变换重在角的变换。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2θ=n，得 coscoscoscos= -，∴coscoscoscos=。

又coscos=，cos=，

∴coscoscos…cos=××=。

解法2：coscoscos…cos =··· ··· · ==。

解法3：利用公式cosαcos(

44+α)cos(4-α)= cos3α，取α=、。【例3】求cos20°+cos40°+cos80°的值。

解：由倍角公式得

cosθ=(4)=2 (1+2cos2θ+cos2θ)= +2cos2θ+cos4θ， ∴cos20°+cos40°+cos80°= ×3+444(cos40°+ cos80°+ cos160°) +(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°) = +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ

内容需要下载文档才能查看

=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。

下载文档

网友关注

四川公务员行测每日一练言语理解练习题01.18

2018四川公务员考试面试热点模拟题：“节后空巢症”怎么治？

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题答案1.15

四川公务员行测每日一练判断推理练习题01.22

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题1.16

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题1.19

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题答案1.23

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题1.17

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题答案1.12

四川公务员行测每日一练资料分析练习题01.23

四川公务员申论每周一练：繁荣文化市场

2017下半年四川公务员考试面试真题（12月15日）

四川公务员考试行测题库：行测每日一练言语理解练习题01.11

四川公务员公共基础知识每日一练(2018.1.17)

2018四川公务员面试模拟题：如何评价甘愿受累的“有钱人”

四川公务员行测每日一练资料分析练习题答案01.23

四川公务员行测每日一练资料分析练习题答案01.16

四川公务员申论每周一练答案：解除担责医生后顾之忧

四川公务员行测每日一练言语理解练习题答案01.17

四川公务员行测每日一练资料分析练习题01.12

四川公务员行测每日一练资料分析练习题答案01.12

2017下半年四川公务员考试面试真题（12月16日）

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题1.15

四川公务员面试每日一练结构化面试模拟题答案1.18

四川公务员公共基础知识每日一练(2018.1.22)

四川公务员公共基础知识每日一练(2018.1.18)

四川公务员公共基础知识1000题及答案193

四川公务员公共基础知识每日一练(2018.1.16)

四川公务员行测每日一练判断推理练习题答案01.22

四川公务员行测每日一练言语理解练习题01.17

网友关注视频

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342

【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店（其五）》优质课教学视频+PPT课件+教案，江苏省

第五单元民族艺术的瑰宝_15. 多姿多彩的民族服饰_第二课时(市一等奖)(岭南版六年级上册)_T129830

北师大版八年级物理下册第六章常见的光学仪器（二）探究凸透镜成像的规律

【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案，安徽省

人教版历史八年级下册第一课《中华人民共和国成立》

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 4

沪教版牛津小学英语（深圳用）五年级下册 Unit 7

沪教版牛津小学英语（深圳用）六年级下册 Unit 7

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，广东省

第12章圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713

苏科版八年级数学下册7.2《统计图的选用》

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，湖北省

小学英语单词

外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时

冀教版小学数学二年级下册第二单元《租船问题》

精品·同步课程历史八年级上册第15集近代科学技术与思想文化

外研版英语七年级下册module1unit3名词性物主代词讲解

【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店（其五）》优质课教学视频+PPT课件+教案，辽宁省

二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339

第8课对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187

第19课我喜欢的鸟_第一课时(二等奖)(人美杨永善版二年级下册)_T644386

沪教版八年级下册数学练习册21.4（1）无理方程P18

二年级下册数学第一课

苏教版二年级下册数学《认识东、南、西、北》

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 8

冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》

二年级下册数学第二课

苏科版数学八年级下册第八章第二节可能性的大小

【获奖】科粤版初三九年级化学下册第七章7.3浓稀的表示

精品推荐

营造良好的企业文化

分类导航

生物学

陈导

此文档贡献者

2015-04-15
贡献时间
密
下载次数

教育资源为主的文档平台

文档分类