高中数学竞赛讲座 04平面几何证明

竞赛专题讲座04

－平面几何证明

[竞赛知识点拨]

1． 线段或角相等的证明

（1） 利用全等△或相似多边形； （2） 利用等腰△； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换；

（5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明

（1） 转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

（2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3． 两线平行与垂直的证明

（1） 利用两线平行与垂直的判定定理。

（2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

（3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于

CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

【分析1】构造两个全等△。

连结ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

←

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证， PM²PN=MS²NT。

（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN

→→PM²PN=AM²BN

（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA

→

→MS²NT=AM²BN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。

【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，

交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。

在O1M上截取MO3=MO2，则∠M1AO3=∠M2AO2。

故只需证∠O1AM1=∠O3AM1，即

证

由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。

。

【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，

求证：

AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA ← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG ← 连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG

← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。 【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则

只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。 过O作m⊥PK，则D

P，∴∠D‘PK=∠DKP

BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK

∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM，

∴DMPD‘为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。 倍长中线：延长

AM至M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

D’,K

PQ∥AB←

←←

←

∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ 方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。

延长BH交AC的延长线于B’，如图6-2。则H为BB‘的中点，因为M为BC的中点，

/

连结HM，则HM∥BC。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M’，使OM‘=OM，连结M’A、M‘B，则AM’BM是平行四边形，

∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，

，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。 求证：MQ∥NP。（95年全国联赛二试3）

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，

结合∠A=∠C知，只需证△AMQ∽△CPN←，AM²CN=AQ²CP。

连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则

∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。