高中数学竞赛讲座 18类比、归纳、猜想

竞赛专题讲座18

－类比、归纳、猜想

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．

运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型．

（1）降维类比

将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．

【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．

求证：++为定值．

分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB

上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC

于

A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法 证明其定值为1． 证明：如图，设平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，则

有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．得

++=++。

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：

++=1。 ∴++=1。

【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于．

【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．

证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G为△BCD的中心，MN∩AG＝O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=·AG=，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于

证明如下． ，其球O必包含S．现

根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内．

若球O交OC于T点。△TON中，ON=

由余弦定理： ，OT=，cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。

TN=ON+OT+2ON·OT·222=，∴TN=。

又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN=。由GN= NT＝， OG＝OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON＝∠GON，且均为钝角．

于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>∠TON，即有PN>TN=P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S． ，

由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于

（2）结构类比 ．

某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．

【例3】任给7个实数xk（k=1，2， ，7）．证明其中有两个数xi，xj，满足不等式

0≤≤·

【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，

k故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tgα

（k ＝l，2， ，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tg(αi-αj)≤· 证明：令xk=tgαk（k ＝l，2， ，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈（-，），满足0≤tg(αi-αj)≤·

由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在

[0，）中．注意到tg0＝0，tg=，而在[0，）内，tgx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0<αi-αj <即可。为此将[0，）分成三个小区间：[0

，]、（，]、（，）。又由抽屉原则知，4个αk中至少有2个比如αi，αj同属于某一区间，不妨设αi>αj，则0≤αi-αj ≤，故

0≤tg(αi-αj)≤

（3）简化类比 ·这样，与相应的xi=tgαi、xj=tgαj，便有0≤≤·

简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等．

【例4】已知xi≥0（i＝1，2， ，n），且xl+x2+ +xn=1。 求证：1≤++ +≤．

【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求证1≤∴0≤2

+≤+≤”．本类比题的证明思路为：∵2≤2，即1≤(+≤xl+x2＝l，)≤2，∴1≤2≤1，则1≤xl+x2+2．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．

证明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，则

0≤2≤(n-1)( xl+x2+ +xn)=n-1

∴1≤xl+x2+ +xn

+2≤n，即1≤(++ +)≤n 2

∴1≤++ +≤．

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i＝1，2， ，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i＝1，2， ，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P． 如果＝M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．

如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．

本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．