高中数学竞赛讲座 17数学归纳法

竞赛讲座17

-数学归纳法

基础知识

数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．

1．数学归纳法的基本形式

（1）第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

①当n?n0（n0?N）时，P(n)成立；

②假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n?n0时，P(n)成立．

（2）第二数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

①当n?n0（n0?N）时，P(n)成立；

②假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n?n0时，P(n)成立．

2．数学归纳法的其他形式

（1）跳跃数学归纳法

①当n?1,2,3,?,l时，P(1),P(2),P(3),?,P(l)成立，

②假设n?k时P(k)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n?1时，P(n)成立．

（2）反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

①P(n)对无限多个正整数n成立；

②假设n?k时，命题P(k)成立，则当n?k?1时命题P(k?1)也成立，那么根据①②对一切正整数n?1时，P(n)成立．

3．应用数学归纳法的技巧

（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n?0也成立，而且验证起来比验证n?1时容易，因此用验证n?0成立代替验证n?1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．

（2）起点增多：有些命题在由n?k向n?k?1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．

（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设n?k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．

（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．

5．归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．

例题分析

例1．用数学归纳法证明：

111(1?1)(1?)(1?)?(1?)?3n?1（n?N*,n?1） 473n?2

*333例2．已知对任意n?N，n?1，an?0且a1?a2???an?(a1?a2???an)2，

求证：an?n．

例3．如果正整数n不是6的倍数，则1986?1不是7的倍数．

例4．设a1,a2,?,an都是正数，证明na1?a2???an?a1a2?an． n

例5．已知函数f(x)的定义域为[a,b]，对于区间[a,b]内的任意两数c,d均有f(c?d1)?[f(c)?f(d)]．求证：对于任意x1,x2,?,xn?[a,b]，均有 22

f(x1?x2???xn1)?[f(x1)?f(x2)???f(xn)]． nn

例6试证：对一切大于等于1的自然数n都有

1?cos??cos2????cosn??2sin2n?1?． 2sin2

n2例7试证：对一切自然数n（n?1）都有2?2?n．

例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．

例9．设0?a?1，a1?1?a，an?1?1?a，求证：对一切n?N均有an?1 an

例10．已知a1?a2?1，an?2

例11．设f(n)?1?2n?1an?1?(?1)，求证：对一切n?N，an都是整数． ?an111????，是否存在关于正整数n的函数g(n)使等式23n

f(1)?f(2)???f(n?1)?g(n)[f(n)?1]对于n?2的一切自然数都成立？并证明你的结论．

例12．设整数数列{an}满足a1?1，a2?12，a3?20，且an?3?2an?2?2an?1?an．证明：任意正整数n，1?4anan?1是一个整数的平方．

例13．设x1,x2,?,xn为正数（n?2），证明：

222xnxnx12x2?1?2???2?2?n?1． x12?x2x3x2?x3x4xn?1?xnx1xn?x1x2

例14．已知a1?1，an?1?an?1（n?N*,n?1），求证：a9000?30． 2an

2an1例15．整数列{an}（n?N,n?1）满足a1?2,a2?7，且有??an?1?求?2．2an?1*

证：n?2时，an是奇数．

训练题

1．证明n?N时，1?2?2?2???2235n?1能被31整除．

2．设n不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成n个较小的正三角形．

111????n?1?2 242

1114．设n为自然数，求证：1?2?2???2?2． 23n3．用数学归纳法证明：1?

n?15．对于自然数n（n?3），求证：n?(n?1)n．

2n?1an*?1?(?1)，求证：对于一切n?N，an是整数． ?an6．已知a1?a2?1，an?2

n7．设有2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲

戴盆望天的球数p不小于乙堆的球数q，则从甲堆拿q个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆．

8．已知数列{an}满足：a1?3，a2?8，4(an?1?an?2)?3an?5n2?24n?20（n?3），试证：an?n2?2n．