高中数学竞赛讲座 15函数方程

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高中数学竞赛讲座 15函数方程

竞赛讲座15

-函数方程

一、相关知识

函数方程f(x) f( x)的解是

函数方程f(x) f(x a) (a 0)的解是

二、函数方程的题型

许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战

意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。

1、确定函数的形式

尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程f2(x) f2( x) 1 0无解）。

2、确定函数的性质

3、确定函数值

三、求函数的解析式

1、换元法

例题1、设函数f(x)满足条件3f(x 1) 2f(1 x) 2x，求f(x)。

例题2、设函数f(x)定义于实数集R，且f(x)满足条件f(x) xf(1 x) 1 x，求f(x)。

1 ex1 ：函数f(x)在x 0处没有定义，但对所有非零实数x有：f(x) 2f 3x，求 x

f(x)。 2 x2

答案：f(x) x

ex2 ：求满足条件x2f(x) f(1 x) 2x x4的f(x)。

2、赋值法

例题1、设函数f(x)定义于实数集R上，且f(0) 1，若对于任意实数m、n，都有： f(m n) f(m) n(2m n 1)，求f(x)。

例题2、设函数f(x)定义于自然数集N上，且f(1) 1，若对于任意自然数x、y，都有：f(x y) f(x) f(y) xy，求f(x)。

四、究函数的性质

例题、设函数f(x)定义于R上，且函数f(x)不恒为零，f() 0，若对于任意实数x、2

x yx yy，恒有：f(x) f(y) 2f() f()。 22

① 求证：f(x 2 ) f(x)

② 求证：f(x) f( x)

③ 求证：f(2x) 2f(x) 1 2

ex3 ：若对常数m和任意x，等式f(x m) 1 f(x)都成立，求证：函数f(x)是周期1 f(x)

函数。

ex4 ：设函数f(x)定义于实数集R上，函数f(x)不恒为零，且对于任意实数x1、x2，都有：f(2x1) f(2x2) f(x1 x2) f(x1 x2)，求证：f(x) f( x)。

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