高中数学竞赛讲座 15函数方程
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高中数学竞赛讲座 15函数方程
竞赛讲座15
-函数方程
一、相关知识
函数方程f(x) f( x)的解是
函数方程f(x) f(x a) (a 0)的解是
二、函数方程的题型
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具,解法富于技巧,对人类的智慧具有明显的挑战
意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。
1、确定函数的形式
尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无解(如:方程f2(x) f2( x) 1 0无解)。
2、确定函数的性质
3、确定函数值
三、求函数的解析式
1、换元法
例题1、设函数f(x)满足条件3f(x 1) 2f(1 x) 2x,求f(x)。
例题2、设函数f(x)定义于实数集R,且f(x)满足条件f(x) xf(1 x) 1 x,求f(x)。
1 ex1 :函数f(x)在x 0处没有定义,但对所有非零实数x有:f(x) 2f 3x,求 x
f(x)。 2 x2
答案:f(x) x
ex2 :求满足条件x2f(x) f(1 x) 2x x4的f(x)。
2、赋值法
例题1、设函数f(x)定义于实数集R上,且f(0) 1,若对于任意实数m、n,都有: f(m n) f(m) n(2m n 1),求f(x)。
例题2、设函数f(x)定义于自然数集N上,且f(1) 1,若对于任意自然数x、y,都有:f(x y) f(x) f(y) xy,求f(x)。
四、究函数的性质
例题、设函数f(x)定义于R上,且函数f(x)不恒为零,f() 0,若对于任意实数x、2
x yx yy,恒有:f(x) f(y) 2f() f()。 22
① 求证:f(x 2 ) f(x)
② 求证:f(x) f( x)
③ 求证:f(2x) 2f(x) 1 2
ex3 :若对常数m和任意x,等式f(x m) 1 f(x)都成立,求证:函数f(x)是周期1 f(x)
函数。
ex4 :设函数f(x)定义于实数集R上,函数f(x)不恒为零,且对于任意实数x1、x2,都有:f(2x1) f(2x2) f(x1 x2) f(x1 x2),求证:f(x) f( x)。
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