高中数学竞赛讲座 12覆盖

竞赛讲座12

－覆盖

一个半径为1的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的．反过来则不然，一个半径为的圆无法盖住单位圆．那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验一下，不行．为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？……，这里我们讨论的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题．

定义 设Ｇ和Ｆ是两个平面图形．如果图形Ｆ或由图形Ｆ经过有限次的平移、旋转、对称等变换扣得到的大小形状不变的图形Ｆ′上的每一点都在图形Ｇ上．我们就说图形Ｇ覆盖图形Ｆ；反之，如果图形Ｆ或Ｆ′上至少存在一点不在Ｇ上，我们就说图形Ｇ不能覆盖图形Ｆ．

关于图形覆盖，下述性质是十分明显的：

（１） 图形Ｇ覆盖自身；

（２） 图形Ｇ覆盖图形Ｅ，图形Ｅ覆盖图形Ｆ，则图形Ｇ覆盖图形Ｆ． １．最简单情形――用一个圆覆盖一个图形．

首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到：

定理１ 如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点Ｏ，使得图形Ｆ中的每一点与Ｏ的距离都不大于定长ｒ，则Ｆ可被一半径为ｒ的圆所覆盖．

定理２ 对于二定点Ａ、Ｂ及定角α若图形Ｆ中的每点都在ＡＢ同侧，且对Ａ、Ｂ视角不小于α，则图形Ｆ被以ＡＢ为弦，对ＡＢ视角等于α的弓形Ｇ所覆盖． 在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛．

例１ 求证：（１）周长为２ｌ的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（２）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是２ｌ，不管线圈形状如何，都可以被个半径为

的圆纸片所覆盖．

分析 （１）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（２）＂曲＂化＂直＂．对比（１），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．

证明 （１）如图４５－１，设ＡＢＣＤ的周长为２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ为周界上任意一点，不妨设在ＡＢ上，则

∠１≤∠２≤∠３，

有ＯＰ≤ＯＡ．

又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ， 故ＯＡ＜． 因此周长为２ｌ的平行四边形ＡＢＣＤ可被以Ｏ为圆心；半径为

题得证．

的圆所覆盖，命

（2）如图45-2,在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l.又设RQ中点为G，M为线圈耻任意一点，连MR、MQ，则

因此，以G为圆心，

长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．

例２△ABC的最大边长是ａ，则这个三角形可被一半径为

分析 ａ为最大边，所对角A满足６０°≤A＜１８０°． 的圆所覆盖．

证明 不妨设BC＝ａ，以BC为弦，在A点所在一侧作含60°角的弓形弧（图４５－３）．因６０°≤A≤180°，故根据定理２，△ABC可被该弓形所覆盖．

由正弦定理，弓形相应半径ｒ＝

所覆

盖． ，所以△ABC可被半径为的圆

显然覆盖△ABC的圆有无穷多个，那么半径为

实并不

尽然．

的圆是否是最小的覆盖圆呢？事

例３ △ＡＢＣ的最大边BC等于ａ，试求出覆盖△ABC的最小圆．

解 分三种情形进行讨论：

（１） ∠Ａ为钝角，以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ＡBC．

（２） ∠Ａ是直角，同样以ＢＣ为直径作圆即可覆盖△ABC；

（３）∠Ａ是锐角．假若⊙O覆盖△ABC，我们可在⊙O内平移△ABC，使一个顶点B落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点A在⊙O

内或其圆周上，设BC所对圆周角为α，那么∠BAC≥α，设⊙O直径ｄ，△ABC外接圆直径ｄ０，那么

所以对于锐角三角形ABC，最小覆盖圆是它的外接圆．

今后我们称覆盖图形F的圆中最小的一个为F的最小覆盖圆．最小覆盖圆的半径叫做图形F的覆盖半径．

综合例２、例３，即知△ABC中，若ａ为最大边，则△ABC的覆盖半径ｒ满足

２．一个图形Ｆ能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值ｄ密切相关． 以下我们称图形Ｆ中任意两点间的距离最大值ｄ为图形Ｆ的直径．

我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题．

定义 对于图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若图形Ｆ中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖，则称这几个图形覆盖图形Ｆ．

图形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ为ｎ个圆是一特殊情形．

例４ 以ＡＢＣＤ的边为直径向平行四边形内作四个半圆，证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形．

分析１ ＡＢＣＤ的每一点至少被某个半圆所盖住．

证明１ 用反证法．如图４５－４设存在一点Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ为直径的圆外，根据定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０°，从而

∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋∠ＤＰＡ＜３６０°．

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与四角和应为周角相矛盾．故Ｐ应被其中一半圆盖住，即所作四个半圆覆盖ＡＢＣＤ．

分析２ 划片包干，如图４５－５，将ＡＢＣＤ分为若干部分，使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖．

证明２ 在ＡＢＣＤ中，如图４５－５，设ＡＣ≥ＢＤ．分别过Ｂ、Ｄ引垂线ＢＥ、ＤＦ垂直ＡＣ，交ＡＣ于Ｅ、Ｆ，将ＡＢＣＤ分成四个直角三角形，△ＡＢＥ、△ＢＣＥ、△ＣＤＦ、△ＤＡＦ．每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖，从而整个四边形被四个半圆所覆盖．

上述结论可推广到任意四边形，留给读者考虑．

例５ 求证：一个直径为１的圆不能被两个直径小于１的圆所覆盖．

证明 如图４５－６，先考虑其中一个小圆即⊙Ｏ１去覆盖大圆Ｏ，连Ｏ１、Ｏ过Ｏ作ＡＢ⊥Ｏ１Ｏ，ＡＢ为⊙Ｏ的直径（若Ｏ１、Ｏ重合，那么ＡＢ为任意直径）此时

故Ａ、Ｂ两点都不能被⊙Ｏ１盖住．至于另一小圆⊙Ｏ２无疑不能同时盖住Ａ、Ｂ两点，故⊙Ｏ１、⊙Ｏ２不能覆盖⊙Ｏ．

事实上，我们还可以从另一角度给予证明．那就是一个小圆无法覆盖半个大圆，因此两个小圆也就不可能覆盖住整个大圆了．

现在，我们着手研究本文一开始就提出的问题．