高中数学竞赛讲座 07面积问题和面积方法

竞赛讲座07

--面积问题和面积方法

基础知识

1．面积公式

由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．

设△ABC，a,b,c分别为角A,B,C的对边，ha为a的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p

（1）S ABC

（2）S ABC1(a b c)．则△ABC的面积有如下公式： 21aha； 21 bcsinA 2

（3）S ABC

（4）S ABC

（5）S ABCp(p a)(p b)(p c) 1r(a b c) pr 2abc 4R

（6）S ABC 2R2sinAsinBsinC

（7）S ABCa2sinBsinC 2sin(B C)

1ra(b c a) 2

1 R2(sin2A sin2B sin2C) 2（8）S ABC （9）S ABC

2．面积定理

（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；

（2）两个全等形的面积相等；

（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；

（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；

（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（6）共边比例定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则S PAB:S QAB PM:QM；

（7）共角比例定理：在△ABC和△A B C 中，若 A A 或 A A 180 ，则

S ABCAB AC． S A B C A B A C

3．张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA,PB,PC，设 APC ， CPB ， APB 180 ，则A,B,C三点共线的充要条件是：

sin sin sin( ) ． PBPAPC

例题分析

例1．梯形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且S AOB m，S COD n，求SABCD 例2．在凸五边形ABCDE中，设S ABC S BCD S CDE S DEA S EAB 1，求此五边形的面积．

例3．G是△ABC内一点，连结AG,BG,CG并延长与BC,CA,AB分别交于D,E,F，△AGF、△BGF、△BGD的面积分别为40，30，35，求△ABC的面积．

例4．P,Q,R分别是△ABC的边AB,BC和CA上的点，且BP PQ QR RC 1，求△ABC的面积的最大值．

例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点D,E,F,G,H,I都在△ABC的边上，S1表示六边形DGHEFI的面积，S2表示

△ABC的面积．求证：S1 2S2． 3

例6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证：S 2T．

例7．锐角三角形ABC中，角A等分线与三角形的外接圆交于一点A1，点B1、C1与此类似，直线AA1与B、C两角的外角平分线将于一点A0，点B0、C0与此类似．求证：

（1）三角形A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的面积的二倍；

（2）三角形A0B0C0的面积至少是三角形ABC的四倍．

例8．在△ABC中，P,Q,R将其周长三等分，且P,Q在边AB上，求证：S PQR

S ABC 2． 9

例9．在锐角△ABC的边BC边上有两点E、F，满足 BAE CAF，作FM AB，FM AC（M,N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明四边形AMDN与△ABC的面积相等．

三．面积的等积变换

等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．

例10．凸六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB BC DC 1，DE EF FA 1，求此六边形的面积．

例11．已知 ABC的三边a b c，现在AC上取AB AB，在BA延长线上截取BC BC，在CB上截取CA CA，求证：S ABC S A B C ．

A B C 在 ABC内，例12．且 ABC∽ A B C ，求征：S A BC S B CA S C AB S ABC 例13．在 ABC的三边BC,CA,AB上分别取点D,E,F，使BD 3DC,CE 3EA，AF 3FB，连AD,BE,CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13，求三角形PQR的面积．

例14．E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点，EF AD于F，EH BC于H，EG CD于G，求证：EF平分FH．

例15．已知边长为a,b,c,的 ABC，过其内心I任作一直线分别交AB,AC于M,N点，求证：MIa c ． INb

例16．正△PQR 正△P Q R ，AB a1，BC b1，CD a2，DE b2，

EF a3，FA b3．求证：a1 a2 a3 b1 b2 b3．

例17．在正 ABC内任取一点O，设O点关于三边BC,CA,AB的对称点分别为A ,B ,C ，则AA ,BB ,CC 相交于一点P．

例18．已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M,N分别内分ACCE，且222222

AMCN k，如果B,M,N三点共线，试求k的值． ACCE

例19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD时，直线AB与以CD为直径的圆相切． 使

训练题

21．设 ABC的面积为10cm，D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点，且

AD 2cm,DB 3cm,若S ABE SDBEF，求 ABE的面积．

2．过 ABC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将 ABC分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为S1,S2,S3，求三角形 ABC的面积．

3．在 ABC的三边AB,BC,CA上分别取不与端点重合的三点M,K,L，求证： AML， BKM, CLK中至少有一个的面积不大于 ABC的面积的1． 4

4．锐角 ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是K,M，求证：四边形AKNM的面积等于 ABC的 面积．

5．在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使DC 1BC，作BE AD交AC于3

E，求证：AE EC．

6．三条直线l,m,n互相平行，l,n在m的两侧，且l,m间的距离为2，m,n间的距离为1，若正 ABC的三个顶点分别在l,m,n上，求正 ABC的边长．

7．已知 P，证明：在1P2P3及其内任一点P，直线PiP分别交对边于Qi（i 1,2,3）P1PP2PP3P这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． ,,PQ1PQ2PQ3

8．点D和E分别在 ABC的边AB和BC上，点K和M将线段DE分为三等分，直线BK和BM分别与边AC相交于点T和P，证明：TP 1AC． 3

9．已知P是 ABC内一点，延长AP,BP,CP分别交对边于A ,B ,C ，其中AP x，BP y,CP z,PA PB PC w，且x y z 23,w 3，求xyz之值．

10．过点P作四条射线与直线l,l 分别交于A,B,C,D和A ,B ,C ,D ，求证：

AB CDA B C D ． AD BCA D B C

11．四边形ABCD的两对对边的延长线分别交K,L，过K,L作直线与对角线AC,BD的延长线分别G,F，求证：LFLG ． KFKG

12．G为 ABC的重心，过G作直线交AB,AC于E,F，求证：EG 2GF．