高中数学竞赛讲座 08几何变换

竞赛专题讲座08

－几何变换

【竞赛知识点拨】

一、 平移变换

1． 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F

=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为上任一点X变到X‘，使得XX’，图形FF‘ 。

2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、 轴对称变换

1． 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘ 。

2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换

1． 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为X

图形

FF’ 。 X‘，

其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。

2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、 位似变换

1． 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X

变到X‘，使得 =k·，则H叫

做以O为位似中心，k为位似比的位似

变换。记为X

FF‘ 。 X’，图形其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。

2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。

【竞赛例题剖析】

【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。

求证：∠PBA=∠PDA。 【分析】作变换△ABP△DCP’，

则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。

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求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ

△COA‘<。

【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。

∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=

【例3】

对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 在两条

【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC

件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。 A‘C’，则A‘BC’D是一个符合条

∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。 ∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。

故当四边形为平行四边形时，周长最小。

【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）

【分析】设GH为过P的直径，F

∵PFPF‘，PAF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a

，则

。（解析法证明：利用二次曲线系知识）

【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。

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【分析】在圆O上任取一点P0，令P

0P1，P

0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。

设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。

∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。 ∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法： 连结OC，交圆周于P，令P

R。则P、Q、R为所求。 P1，PP2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、

【例6】

△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD。

【分析】设P

AP=AP’=AP‘’。

∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。

P’，PP‘’。则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，