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2014年广东高中数学竞赛

上传者:梁芳
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上传时间:2015-04-15
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2014年广东高中数学竞赛

2014年广东省高中数学竞赛试题

(考试时间:2014年9月21日上午10:00-11:20)

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注意事项:

1.本试卷共二大题,全卷满分120分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。

3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.

1.设集合A xax 2 0,B 1,2 ,满足A B,则实数a的所有可能取值为. 2.袋中装有大小、形状相同的5个红球,6个黑球,7个白球,现在从中任意摸出14个球,刚好摸到3个红球的概率是 .

13

3.复数 22i

4.已知

6n

n N 的值是 .

1 x y 3,

则2x2 3y的最大值是

1 x y 1.

5.已知各项均为正数的等比数列 an 满足:a2 a3 14,a1a2a3 343,则数列 an 的通项公式为 .

6.已知 为锐角,向量 cos ,sin , 1, 1 满足

22

,则 3

5

sin

12

7.若方程x xy 2y x a 0表示两条直线,则a的值是 8.已知

2

2

2 1

21

a b2,其中a和b为正整数,则b与27的最大公约数是.

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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9.(本题满分16分)

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矩形ABCD中,AB 2,AD 4,E,F分别在AD,BC 上,且AE 1,BF 3,将四边形AEFB沿EF折起,使点B在 平面CDEF上的射影H在直线DE上.求二面角A DE F的大小.

AD

B

C

E

D

xy

1的右焦点F作直线交椭圆C于 过椭圆C:2516

A、B两点,已知 8,试求直线AB的方程.

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22

1

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已知不等式 1

n

数a的取值范围.

n a

e对任意正整数n都成立,试求实

2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案

注意事项:

1.本试卷共二大题,全卷满分120分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。

3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.

1.设集合A xax 2 0,B 1,2 ,满足A B,则实数a的所有可能取值为. 解:当A 时,a 0;当A 时,A , 故应填 1,0,2.

2.袋中装有大小、形状相同的5个红球,6个黑球,7个白球,现在从中任意摸出14个球,刚好摸到3个红球的概率是 .

311

13C5C1313

解:P ,故应填. 14

51C1851

2

a

2

1或2,即a 2或 1 a

13

3.复数 22i

6n

6n

n N 的值是 .

6n 1

cos isin cos2n isin2n 1,故应填1. 解: 2 33

1 x y 3,2

4.已知 则2x 3y 1 x y 1.

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解:令2x2 3y 3b,则y 当x 2,y 1时,2x 3y

22

x b 3

5,故应填5.

2

max

5.已知各项均为正数的等比数列 an 满足:a2 a3 14,a1a2a3 343,则数列 an 的通项公式为 .

7 2

a2 a3 14, a1q a1q 14, a1 ,

解: ,即 ,解之 3 33aaa 343. 123 a1q 343. q 3.

7

an a1qn 1 3n 1 7 3n 2,故应填an 7 3n 2.

3

6.已知 为锐角,向量a cos ,sin ,b 1, 1 满足a b

22

,则 3

5

sin .

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12

解:0

2

a b cos sin ,即cos ,且0

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434 3

. sin 4 5

sin sin sin cos cos sin 12 4 6

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4 64 6

2111

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,故应填 . 32326363

2

2

7.若方程x xy 2y x a 0表示两条直线,则a的值是 解:令x xy 2y x a x y m x 2y n ,则

2

2

1

m 3 m n 1

22

n 2m 0,解之 n ,故应填.

39 mn a

2

a 9

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