2014年广东高中数学竞赛
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2014年广东高中数学竞赛
2014年广东省高中数学竞赛试题
（考试时间：2014年9月21日上午10：00－11：20）
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注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。
3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．设集合A xax 2 0,B 1,2 ，满足A B，则实数a的所有可能取值为． 2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是 ．
13
3．复数 22i
4．已知
6n
n N 的值是 ．
1 x y 3,
则2x2 3y的最大值是
1 x y 1.
5．已知各项均为正数的等比数列 an 满足：a2 a3 14,a1a2a3 343，则数列 an 的通项公式为 ．
6．已知 为锐角，向量 cos ,sin , 1, 1 满足
22
，则 3
5
sin
12
7．若方程x xy 2y x a 0表示两条直线，则a的值是 8．已知
2
2
2 1
21
a b2，其中a和b为正整数，则b与27的最大公约数是．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看9．（本题满分16分）
内容需要下载文档才能查看矩形ABCD中，AB 2,AD 4，E,F分别在AD,BC 上，且AE 1,BF 3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在 平面CDEF上的射影H在直线DE上．求二面角A DE F的大小．
AD
B
C
E
D
xy
1的右焦点F作直线交椭圆C于 过椭圆C:2516
A、B两点，已知 8，试求直线AB的方程．
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22
1
内容需要下载文档才能查看已知不等式 1
n
数a的取值范围．
n a
e对任意正整数n都成立，试求实
2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案
注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。
3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．设集合A xax 2 0,B 1,2 ，满足A B，则实数a的所有可能取值为． 解：当A 时，a 0；当A 时，A ， 故应填 1,0,2．
2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是 ．
311
13C5C1313
解：P ，故应填． 14
51C1851
2
a
2
1或2，即a 2或 1 a
13
3．复数 22i
6n
6n
n N 的值是 ．
6n 1
cos isin cos2n isin2n 1，故应填1． 解： 2 33
1 x y 3,2
4．已知 则2x 3y 1 x y 1.
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解：令2x2 3y 3b，则y 当x 2,y 1时，2x 3y
22
x b 3
5，故应填5．
2
max
5．已知各项均为正数的等比数列 an 满足：a2 a3 14,a1a2a3 343，则数列 an 的通项公式为 ．
7 2
a2 a3 14, a1q a1q 14, a1 ,
解： ，即 ，解之 3 33aaa 343. 123 a1q 343. q 3.
7
an a1qn 1 3n 1 7 3n 2，故应填an 7 3n 2．
3
6．已知 为锐角，向量a cos ,sin ,b 1, 1 满足a b
22
，则 3
5
sin ．
内容需要下载文档才能查看12
解：0
2
a b cos sin ，即cos ，且0
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看
434 3
． sin 4 5
sin sin sin cos cos sin 12 4 6
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看4 64 6
2111
内容需要下载文档才能查看
，故应填 ． 32326363
2
2
7．若方程x xy 2y x a 0表示两条直线，则a的值是 解：令x xy 2y x a x y m x 2y n ，则
2
2
1
m 3 m n 1
22
n 2m 0，解之 n ，故应填．
39 mn a
2
a 9
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